2.3.1 变量之间的相关关系教案公开课一等奖

等差数列的前n项和

教材分析

（一）教材的地位与作用

等差数列前n项和是本章的重要内容，它与前面学过的等差数列的通项公式﹑性质有着密切联系，同时又为今后的等比数列的前n项和﹑数列求和等内容做好知识准备，在整个章节中起着承上启下的作用．同时它也是高考命题的重点和热点，是以后继续高等数学学习的基础知识，所以本节课在高中数学教学中占有重要地位．

（二）学情分析

根据皮亚杰的认知水平阶段，高一学生处于形式运算阶段，他们思维比较活跃，具有了敏锐的观察能力以及归纳和类比能力，所以本节课我将从分析高斯计算的小故事的算法入手，启发引导学生由特殊到一般，探究等差数列的前n项和公式．

（三）教学目标

根据教材特点、教学大纲、新课标标准，从提高学生分析问题解决问题的能力出发，我确定教学目标如下：

1﹑知识目标

掌握等差数列前n项和公式以及公式的推导方法，并能灵活的运用公式解决问题．通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力.

2﹑能力目标

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、类比和逻辑推理的能力.

3﹑情感目标

结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,激发探究兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和信心，并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化．

（四）教学重﹑难点

1、由于等差数列前n项和公式在高中数学教学和高考中占有了重要地位，所以我将本节课的重点设置为：等差数列前n项和公式及其简单应用．

2、由于等差数列前n项和公式是数列中学习的第一个求和公式，也是高中数学中第一次处理无穷项式子中求和的问题，采用了倒序相加法，需要构建一个倒序的

，由于学生缺乏处理经验，不容易发现，具有一定的难度，其次由于学生的认知水平，对公式的逆用也具有一定难度．所以我将本节课的难点设置为：等差数列前n项和公式的推导及其灵活运用． 任务分析

这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．

对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数

列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．

教学流程设计

一、问题情景

1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．

2. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．

3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型

1. 数列的前ｎ项和定义

对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．

2. 等差数列的求和公式

（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？

对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：

Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，

①

依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．

②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．

（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．

三、解释应用

［例

题］

1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．

（1）ａ1＝

—4，ａ8＝

—18，ｎ＝8．

（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．

注：恰当选用公式进行计算．

2. 已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？

分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．

解：由题意知

注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．

（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，

3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．

解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．

那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为

答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．

注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．

4. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据

由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．

思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？

［练

习］

1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？

2. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝ｎ2＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．

3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．

四、拓展延伸

1. 数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？

2. 已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．

分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝ｎ2＋

（ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－

）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．

解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以

于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．

分析2：因为公差ｄ＝

－＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．

点评

这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．

对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．

就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力．另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。