复习参考题国家获奖教案

章末质量评估(三) (时间：100分钟

满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝(

)．

A.2＋62－66－22

B.

C.

D.4444

解析

sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°

＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14°

2＋6＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝4. 答案

A 112．若tan θ＝3，则cos2θ＋2sin 2θ的值是(

)．

6446A．－5

B．－5

C.5

D.5

1解析

∵tan θ＝3，

cosθ＋sin θcos θ1＋tan θ＝＝sin2θ＋cos2θ1＋tan2θ2∴原式＝11＋31＋9126＝110＝5. 答案

D π353．(2012·湖南师大附中高一检测)已知cos(α－β)＝5，sin β＝－13，且α∈0，2，πβ∈－2，0，则sin α＝(

)．

33633363A.65

B.65

C．－65

D．－65

ππ解析

∵α∈0，2，β∈－2，0，∴α－β∈(0，π)，

34由cos(α－β)＝5得sin(α－β)＝5，

512由sin β＝－13得cos β＝13，

4123533∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝5×13＋5×－13＝65. 答案

A 34．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝2，则有(

)．

A．c

B．b

C．a

D．b

解析

a＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，

b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，

c＝3＝sin 60°，∴c

A 5．在△ABC中，若0

)．

A．钝角三角形

C．直角三角形

π解析

∵0

sin Asin B又tan Atan B＝cos A·cos B<1，

∴cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)>0，

ππ∴A＋B<2，∴C>2，

∴△ABC为钝角三角形．

答案

A 4π6．若x∈－2，0，cos x＝5，则tan 2x等于(

)．

772424A.24

B．－24

C.7

D．－7

4332tan xπ解析

∵x∈－2，0，cos x＝5，∴sin x＝－5，∴tan x＝－4，∴tan 2x＝1－tan2x24＝－7. 答案

D 7．函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为(

)．

B．锐角三角形

D．不能确定

ππA.4

B.2

C．π

D．2π

71＋cos 2x1231＋＝cos 4x＋.∴解析

y＝sin4x＋cos2x＝(1－cos2x)2＋cos2x＝－82248πT＝2. 答案

B π38．已知sin4－x＝5，则sin 2x的值为(

)．

1916147A.

B.

C.

D.

252525257πππ3解析

sin 2x＝cos2－2x＝cos 24－x＝1－2sin24－x＝1－2×52＝25. 答案

D ππ9．(2012·日照高一检测)当函数y＝sin3＋xcos3－x取得最大值时，tan x的值为(

)．

A．1

B．±1

C.3

D．－1 3113解析

y＝cos x＋sin xcos x＋sin x

2222313＝4(sin2x＋cos2x)＋4sin xcos x＋4sin x cos x

31＝4＋2sin 2x. 当sin 2x＝1时，ymax＝3＋24，

ππ此时2x＝2kπ＋2，x＝kπ＋4(k∈Z)，∴tan x＝1. 答案

A 10．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是(

)．

πA．向左平移2个单位

πC．向右平移2个单位

πB．向右平移4个单位

πD．向左平移4个单位

解析

令y＝sin x＋cos x

π＝2sinx＋4＝f(x)，

π则y＝sin x－cos x＝2sin x－4

πππx－＋＝fx－，

＝2sin 242∴y＝sin x＋cos x错误!y＝sin x－cos x. 答案

C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．化简2＋cos 2－sin21的结果是________．

解析

原式＝1＋cos 2＋1－sin21

＝2cos21＋cos21 ＝3|cos 1|. π又0<1<2，∴cos 1>0，

∴原式＝3cos 1. 答案

3cos 1 →→12．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，

它们的夹角为120°.如图，点C在以O为圆心

→→→的圆弧AB上变动，若OC＝xOA＋yOB，其中

x，y∈R，则x＋y的最大值是________．

解析

建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，

13B(cos 120°，sin 120°)，即B－，. 22→设∠AOC＝α，则OC＝(cos α，sin α)．

→→→y3∵OC＝xOA＋yOB＝(x,0)＋－，y＝(cos α，sin α)，

22

yx－2＝cos α，∴32y＝sin α.

sin αx＝＋cos α，3∴2sin αy＝，3

∴x＋y＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．

∵0°≤α≤120°，

∴30°≤α＋30°≤150°

∴x＋y有最大值2，当α＝60°时取得最大值2. 答案

2 13．已知sin x－cos x＝sin xcos x，则sin 2x＝________. 解析

∵sin x－cos x＝sin xcos x，

∴(sin x－cos x)2＝(sin xcos x)2

1－2sin xcos x＝(sin xcos x)2，

∴令t＝sin xcos x，则1－2t＝t2. 即t2＋2t－1＝0，

－2±22∴t＝＝－1±2. 2111又∵t＝sin xcos x＝2sin 2x∈－2，2，

∴t＝2－1，∴sin 2x＝22－2. 答案

22－2 ππ14．(2012·长沙高一检测)关于函数f(x)＝cos2x－3＋cos2x＋6，有下列说法：

①y＝f(x)的最大值为2；

②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；

π13π③y＝f(x)在区间24，24上单调递减；

π④将函数y＝2cos 2x的图象向左平移24个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确说法的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上) πππ解析

f(x)＝cos2x－3＋cos2x＋2－3



πππ＝cos2x－3－sin2x－3＝2cos2x－12，

∴f(x)max＝2，即①正确．

2π2πT＝|ω|＝2＝π，即②正确．

πf(x)的递减区间为2kπ≤2x－12≤2kπ＋π(k∈Z)．

π13即kπ＋24≤x≤kπ＋24π(k∈Z)，

π13πk＝0时，24≤x≤24，所以③正确．

π将函数y＝2cos 2x向左平移24个单位得

πy＝2cos2x＋24≠f(x)，∴④不正确．

答案

①②③

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 35πθθθ15．(10分)已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin 、cos 、tan 的值．

5222235π解

∵|cos θ|＝5，2<θ<3π，

35πθ3π∴cos θ＝－5，4<2<2. 由cos θ＝1－2sin2，

θ有sin 2＝－

1－cos θ＝－

231＋5252＝－5. 2θθ又cos θ＝2cos22－1，

θ有cos 2＝－

θsin 21＋cos θ5θ＝－5，tan 2＝2θ＝2. cos 2sin x＋cos x－1sin x－cos x＋1

sin 2x16．(10分)求证：

x＝tan 2. 证明

左式

xxxxxx2sin 2cos 2－2sin222sin 2cos 2＋2sin22＝

sin 2xxxxx4sin22cos22－sin224sin22cos x＝＝sin 2x

sin 2xx4sin22cos x＝2sin xcos x＝x2sin22xsin 2x＝tan x2. x2sin 2cos 2x＝cos 22πππ17．(10分)已知sin4＋xsin4－x＝4，x∈2，π，求sin 4x的值．

πππ解

因为4＋x＋4－x＝2，

ππ所以sin4＋xsin4－x

ππ＝sin4＋xcos4＋x

1ππ＝22sin4＋xcos4＋x

1π221＋2x＝2sin2＝cos 2x＝4，所以cos 2x＝2. 2π又x∈2，π，所以2x∈(π，2π)，

2所以sin 2x<0，所以sin 2x＝－2. 22所以sin 4x＝2sin 2xcos 2x＝2×－×＝－1. 221218．(12分)已知sin α＝3，cos β＝－3，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．

12解

因为sin α＝3，cos β＝－3，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin2α225＝－3，sin β＝1－cos2β＝3.

12225－2－210×＝故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝3×－3＋－，93312225－2＋210×＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝3×－3－－. 93319．(12分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，

43b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝5，5. (1)求tan α；

2cos2－3sin α－1(2)求π. 2sinα＋4解

(1)a＋b＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β) 43＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝5，5. 433∴2cos αcos β＝5，2sin αcos β＝5，∴tan α＝4. α2cos2－3sin α－12cos α－3sin α1－3tan α5(2)＝＝＝－π7. sin α＋cos α1＋tan α2sin α＋42α