信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学目标设计

三角函数的图像与性质（1）

一、课前检测

1.（2009全国卷Ⅰ理）若答案

-8 解析:令tanxt,4x2，则函数ytan2xtan3x的最大值为 。

4x2t1,

2tan4x2t4222ytan2xtanx8 1tan2x1t211(11)211t4t2t22443sin(2)1222.（肥城市第二次联考）已知cos()，是第一象限角，则的4134sin()4值是 。

解析：由于4是第一象限角，

sin(2)sin2()51024∴sin()，于是=2sin()。

413134sin()cos()44二、知识梳理

1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．

“五点法”作图实质上是选取函数的一个

，将其四等分，分别找到图象的

点，及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．

2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．

函y＝sinx y＝cosx y＝tanx 数

图

象

注：⑴

正弦函数的对称中心为

，对称轴为

．

⑵

余弦函数的对称中心为

，对称轴为

．

⑶

正切函数的对称中心为

．

3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋)(ω>0)的图象．

令x'＝ωx＋转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．

４．函数y＝Asin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象关系．

1



振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都

(A>1)或

(0

倍（横坐标不变）而得到的．

周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标

(ω>1)或

(0<ω<1)到原来的

倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为

．

相位变换：y＝sin(x＋)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向

(>0)或向

(<0)平移

个单位而得到的．

由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋)的图象主要有下列两种方法：

y＝sinx

或

相位

变换

周期

变换

振幅

变换

振幅

相位

周期

y＝sinx

变换

变换

变换

说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移

个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移

个单位．

5.给出图象求yAsin(x)B的解析式的难点在于,的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，进而确．

三、典型例题分析

例1.已知函数y＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)

⑴若A＝3，ω＝，＝－12，作出函数在一个周期内的简图．

32，当x＝时，相位是，求ω和．

243⑵

若y表示一个振动量，其振动频率是解：(1)y＝3sin(x23x23)列表(略)图象如下：

π

8332y

3 2 1 x

-1 0 2581114-2 33

3

3

3

-3

0 232

2π

143x

53

113

y 0 3

(2)依题意有：

0 －3 0 2f42

∴

6324变式训练1：已知函数y=2sin(2x), 3(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

2

(3)说明y=2sin(2x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 3解

（1）y=2sin(2x)的振幅A=2,周期T=32=，初相=. 23（2）令X=2x+,则y=2sin(2x)=2sinX. 33列表，并描点画出图象：

x X y=sinX y=2sin(2x+

（3）方法一

把y=sinx的图象上所有的点向左平移-

612



37

123

25

60 0 ) 0 3

2

2

0 0 1 2 0 0 -1 -2 个单位，得到y=sin(x)的图象，33再把y=sin(x)的图象上的点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变），得到2y=sin(2x)的图象，最后把y=sin(2x)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不33变），即可得到y=2sin(2x)的图象. 3方法二

将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；

再将y=sin2x的图象向左平移个单位；

612得到y=sin2(x)=sin(2x)的图象；再将y=sin(2x)的图象上每一点的横坐标保持不633变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin(2x)的图象. 3

3

例2已知函数y=3sin(x)

412（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；

（3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解

（1）列表：

x 1x

2412

23

25

27

29

20 

2

3

2

23sin(x)

0 43 0 -3 0 描点、连线,如图所示：

（2）方法一

“先平移，后伸缩”.

先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin(x)的图象；再把y=sin(x)444的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

y=sin(x)的图象，最后将y=sin(x)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横441212坐标不变），就得到y=3sin(x)的图象. 412方法二

“先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移得到y=sin(x-121212个单位，

2xx)=sin()的图象，最后将y=sin()的图象上所有点的纵坐标伸长到2424212原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin(x)的图象. 4（3）周期T=2=2=4，振幅A=3，初相是-.

142(4)令x124=+k(k∈Z), 2得x=2k+令3(k∈Z),此为对称轴方程. 21x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z). 2422对称中心为(2k,0)

(k∈Z).

4

3变式训练2：已知函数f(x)3sinxcoxxcos2x

(R,xR)的最小正周期为π且图象2关于x6对称；

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在[0,]上中有一个交点，求实数a的范围．

2解：（1）f(x)31cos2wx3sin2wx

22231sin2wxcos2wx1

22sin(2wx6)1

∵w∈R

T22ww1

当w＝1时，f(x)sin(2x)1

此时x66不是它的对称轴

∴w＝－1 f(x)sin(2x)11sin(2x)

66（2）y1f(x)sin(2x)

60x262x67

611如图：∵直线y＝a在[0,]上与y＝1－f(x)图象只有一个交点

∴a或a＝1 222y

1

7

6x

0 

6

1－

2

例3．如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.

2解

方法一

以N为第一个零点，

则A=-3，T=2(5)=，

63∴=2，此时解析式为y=-3sin（2x+）. ∵点N(,0)，∴-6×2+=0，∴=，

63所求解析式为y=-3sin(2x).

①

35

方法二

由图象知A=3，

以M(,0)为第一个零点，P(35,0)为第二个零点. 62·03列方程组

解之得2. 5·36∴所求解析式为y=3sin(2x

2).

②

3变式训练3：函数y=Asin(x+)(＞0,||＜

(

) A. y=-4sin(x)

B. y=-4sin(x)

8484,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为2C. y=4sin(x)

D. y=4sin(x)

8484答案

B

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）

1．图象变换的两种途径

⑴

先相位变换后周期变换

y＝sinx y＝sin(x＋)

y＝sin(ωx＋) ⑵

先周期变换后相位变换

y＝sinx y＝sinωxy＝sinω (x＋) 2．给出图象求解析式y＝Asin(ωx＋)＋B的难点在于ω、的确定，本质为待定系数法，基本方法是：⑴

“五点法”运用“五点”中的一点确定．

⑵

图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→ω．

6