1.2.3 循环语句教案设计

椭圆及其标准方程

教学目标：

理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及a，b，c三者的关系

教学重点：椭圆的定义及标准方程

教学难点：标准方程的推导

教学过程：

一、引入

师：同学们，我们上两节课学习了方程与曲线的关系，把几何图形与坐标进行了挂钩，也即是一条曲线满足某个方程，我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上，这条曲线上的点一定能满足这个方程，我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤：建系，写出点的坐标的集合，建立方程，化简方程，检验。曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的，具有一些特殊性质的曲线，今天我们将要学习一种特殊的曲线，在学习之前我们先来看一段小视频。

这个是我们神六飞行的一些片段，好通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹是一个椭圆，我们知道除了神六，我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆，椭圆在我们的生活中也是随处可见。

既然椭圆在生活中是如此的常见，人们是怎么准确的画出椭圆的呢？在画椭圆之前同学们回忆一下我们是怎样画圆的？定出圆心，去半径长，绕着圆心画一圈就可以了，对比圆，椭圆会不会有相似的画法呢？

同学们看一看课本的探究活动，前面一部分同学们应该都清楚那是一个圆，我们现在来看后一部分，把细绳两端拉开一段距离，固定，拉紧绳子，移动笔尖，同学们想想，在这个过程中什么是不变的？（绳子长），对，鉴于用绳子操作起来比较麻烦，通过几何画板来给同学们演示一下。

画板上有固定的两点F1，F2，M三个点，现在我们保持MF1+MF2不变，同学们观察M点会画出怎样的一条轨迹，留意这几个数字的变化。

根据这一变化，我们给椭圆下个定义：

平面内到两个定点的F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

问：为什么这个常数要大于|F1F2|？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？

生：学生讨论

师：好我们现在同样通过几何画板来看看。

我们可以看到当等于|F1F2|是轨迹是线段F1F2，当小于|F1F2|时，这样的M点不存在。

用心

爱心

专心

师：给F1，F2这两个点一个新名词，叫做椭圆的焦点，而这两点的距离叫做是椭圆的焦距。

为了书写方便我们规定|F1F2|=2c，MF1+MF2=2a，再重述遍椭圆的定义

师：椭圆的定义已经给出，椭圆也是一条曲线，他有没有方程呢?再回忆一下求曲线方程的一般步骤。

生：回答求曲线方程的步骤

师：现在我们要求椭圆的方程，第一步就是要建系，我们应该怎样来建立坐标系呢？

生：同学们各抒己见，最后得出

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案，如图2-27，推导出方程．

以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；

师：我们选择方案一来推导椭圆的方程

解

1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，

设两定点坐标为：

F1(-c，0)，F2(c，0)，

用心

爱心

专心

2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，

4)化简．

师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？

生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．

师：好，下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？

学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？

师：请结合图形找出方程中a、c的关系．

生：根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．

师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？

用心

爱心

专心

师：其中a与b的关系如何？为什么？

生：a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．

教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：

1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程

2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；

3)请学生猜想：若用方案二(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？

如果此处学生不能给出，教师将自行给出

师：请同学们课后进行推导验证．

师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．) 师：像这种焦点在坐标轴上建立起来的椭圆的方程，我们称之为椭圆的标准方程。

师：下面我们来对比一下，椭圆两个标准方程的异同

定

义

图

形

|MF1|+|MF2|=2a

(2a>2c>0)

方

程

焦

点

用心

爱心

专心

a,b,c之间的关系

师：现在我们来看课本的例1 例2：设F1，F2为顶点，|F1F2|=6,动点M的满足|MF1|+|MF2|=8,求动点M的轨迹。

用心

爱心

专心