探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学设计实例

2018年新都区中小学学科德育教案

学 科: 高

中

数

学

教案题目： 正弦函数、余弦函数的图象

作 者： 杜

小

芳

工作单位： 成都市新都香城中学

联系电话： 18375663367

§1.4.1 正弦函数、余弦函数

的图象

成都市新都香城中学 杜小芳

联系方式：18375663367 一、教学目标

1、知识与技能目标

(1)能利用单位圆中的正弦线作出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式作出余弦函数的图象；

(2)会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的简图，并利用图象解决一些相关问题。

2、过程与方法目标

通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦线作正弦函数图象的过程，理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；通过观察发现确定函数图象形状的关键点，培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力。

3、情感态度与价值观

（1）

养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识

（2）

发展学生的数形结合思想，激发数学的学习兴趣

二、学情分析

本班学生是高一基础较好的班级，学生是在学习了任意角三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行系统的研究。根据过去研究指数函数、对数函数的步骤，引导学生利用函数图象研究函数性质，因此引出图象的形成，学生较易接受。作函数的图象方法有两种：描点法和几何法。描点法在初中已学过，手续比较烦，

1

并且很难认识新函数y＝sin x的图象的真实面貌。这课主要介绍几何法，也就是用正弦线作出正弦曲线，这是一种全新的作图方法。学生刚学习三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础，能不能正确应用来画图，还需要老师做进一步的指导。

三、教学重点和难点

1、重点:利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，五点作图法. (解决措施：通过提前发布电子作业，让学生复习相关知识点，如正弦函数、余弦函数的定义，诱导公式一，以及三角函数线的定义，并预习教材。讲解新课时，动态演示作图过程，引出图象的形成。) 2、难点：图象的应用. ( 解决措施：设计的习题难度层层递进，让学生动手操作并让学生自己讲解，培养其表达能力，分析能力，体会数形结合的思想的重要性。) 四、教学准备

PPT课件、平板等多媒体设备. 五、教学过程

预习作业讲评（课前查看学生通过平板交上来的作业，掌握预习情况，上课后首先对有疑惑的地方予以解决，将正确答案屏幕推送发给学生）

预学1:正弦函数(或余弦函数)的定义（强调：形式定义）

实数集与角的集合之间存在一一对应关系,而一个确定的角对应着唯一确定的正弦(或余弦)值。因此,

2

任意给定一个实数x,有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应.由这个对应法则所确定的函数y=sin x(或y=cosx)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域是R.

预学2:诱导公式一

sin(k2)sincos(k2)costan(k2)tan(kz)含义：终边相同的角的同一三角函数值相等

作用：任意角的三角函数值→0~2的三角函数值

预学3:正弦线(或余弦线)的定义

设任意角α的终边与单位圆相交于点

P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，

则

sinMP,cosOM

有向线段MP叫做角α的正弦线，

有向线段OM叫做角α的余弦线．

练一练：

注：三角函数线是有向线段！

1、利用三角函数线在直角坐标系中作点C(,sin)33



3

2、作出正弦函数ysinx,x[0,2]的图象.(描点法)(设计意图：温故知新，巩固本节课所需的重要知识点，对学生存在疑惑的旧知给予解决，为讲授新知做铺垫。)

走进新课

一、情景引入———简谐运动实验（视频播放）

物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象。

（设计意图：视频播放“简谐运动的位移和时间关系”图象，即简谐运动实验，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，对正弦函数或余弦函数的图象有一个直观的印象，体会数学与其它学科之间的联系，也可以借此实验激发学生听课的积极性和兴趣.）

二、探索新知

1、正弦函数图象

x,xR的图象(flash动画、屏幕广播(1)ysin)

4

师：以上作图过程称为几何法 . （设计意图：利用Flash动画以及屏幕广播，动态展示利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的过程，让学生直观感受图象形成过程，体会数与形的完美结合，激发学习兴趣。）

(

2)归纳：用几何法作正弦函数图象的过程(学生归纳)

1、等分单位圆，作正弦线，平移正弦线得

y sinx,x[0,2]一个周期内图象.

2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.

（3）正弦函数五点作图法

思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？（学生抢答）

3关键点：(0,0)、(,1)、(,0)、(,1)、(2,0)225

思考：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？（学生抢答） 2、用正弦函数的图象作余弦函数的图象（利用flash动画演示）

师：由诱导公式得cos x=sin(

+x),因此将y=sin x的图象向左平移

个单位即可得到y=cos x的图象. 思考：正弦函数图象与余弦函数的图象有什么联系和区别？（师生共同总结） 思考：类似地，在作余弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？（学生共同回答）

ππ3余弦函数作图关键点：(0,1)、(,0)、(,-1)、(,0)、(2,1)22（设计意图：通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，得到余弦函数的关键五点，体会数学知识间的联系，以及类比的数学思想。）

三、例题讲解

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例1:画出下列函数的简图:(五点法)(1)y1sinx,x[0,2];(2)ycosx,x[0,2].变式1:画出函数ysinx1,x[0,2]的简图;思考:你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数ysinx,x[0,2]的图象来得到以上函数的图象？（设计意图：通过例题引导学生完成，使学生明白“五点法”如何列表，怎样画图象。

并小结作图步骤：1、列表2、描点3、连线，并让学生用其他方法得出图象，让学生在体验、比较各种方法之后，得出解决问题方法的灵活取舍，发展学生归纳概括的能力。）

四、巩固练习（截屏发图给学生，让学生完成，并利用平板查看正确率，选择多个学生讲解解题思路）

1.若函数ysinxb的图象如图所示，求b的值.(抢答)

2.与图中曲线对应的函数是A.y|sinx|B.ysin|x|C.ysin|x|D.y|sinx|

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3.在(0,2)，使sinx|cosx

|成立的x的取值范围是（）

57D.[,]A.[,]B.[,]C.[,]

4244444435

4.方程2xcosx的实数根的个数是（）

2

A.0B.1C.2D.4（设计意图：学生完成练习题并讲解解题思路，教师点评，设计的习题层层递进，让学生动手操作并让学生自己讲解，培养其表达能力，分析能力，加深对图象的应用，体会数形结合思想的重要性。从内容上讲，起到承上启下、拓展延伸的作用，开发学生的发散创造思维.）

课堂小结：（师生总结）

1、正余弦函数图象及作法（如图）

2、五点作图法：正弦函数关键点：

余弦函数关键点：

3、图象的应用

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六、教学反思

这节课从整体上看，比较圆满完成了既定的教学目标：正弦函数、余弦函数的图象，利用五点法作出函数的图象以及图象的应用，从教学过程来看，整堂课的教学设计过程充分体现了备学生的特点，教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂设计比较紧凑。通过提前发布电子作业，让学生复习相关知识点，如正弦函数、余弦函数的定义，诱导公式一，以及三角函数线的定义，并预习教材。讲解新课时，动态演示作图过程，引出图象的形成，更好的帮助学生理解知识点，突破重难点。如截屏发题，实时查看学生的解题过程，并进行批改，提高了教学效率，并实时掌握学生学习情况，及时得到反馈。多媒体课件加上未来课堂的屏幕广播，将课时内容的重点难点以更加清晰和直观、形象的方式呈现出来，视觉冲击力强，激发学生学习兴趣以及提高课堂教学效率；尤其是对于函数图象这类知识点，几何画板以及flash动画的演示，让学生从中找到了学习的自信和动力，解决多数学生因为“遇到难点就头大”的问题，抢答等技术的融入提高了学生学习的积极性和趣味性，体会数与形的完美结合。

当然，在教学中也存在一些问题，第一环节预习作业讲评时间有点长，导致后面巩固练习题以及课堂总结的时间有点紧，其次，在新技术辅助教学时，由于大量使用事先已经输入好的内容，课堂教学节奏进行得有点快，使一些学生的思维跟不上，易造成师生间情感的缺失。

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