复习参考题ppt配套的板书设计及意图

平面向量专题复习教学设计

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•必修4》（人教A版）“第二章平面向量”专题复习课，本节课为第2课时．

平面向量是近代数学中的重要和基本数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．本章节，学生了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量极其运算的意义，用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，提升了运算能力和解决实际问题能力．

从认知基础的角度看，平面向量是初中就已经有所接触的内容，经过12个课时的学习，同时经过平面向量专题复习（一）的复习，学生以及系统掌握平面向量的概念、运算、基本定理、数量积等知识．专题复习（二）将进一步复***面向量的代数系统．

从思想方法的角度看，由平面向量的线性运算和数量积的概念，结合欧式空间下的平行四边形的性质，总结整理得到“平行四边形性质”、“极化恒等式”、“三角不等式”三个性质，正是整合这一章的数学知识和方法，使之系统化，这三个性质作为刻画向量极其模长变化的工具，形成了欧式空间下的向量的代数系统，使得问题的本质突出，简单自然的数学知识呈现．

因此，本节课的主要任务是在专题复习（一）的基础上，复习回顾、抽象整理出向量的代数系统，同时领会应用向量代数系统中的三个工具去解决与之相关的问题，提升对于平面向量问题的理解．

二、教学目标设置

（一）知识与技能

1. 掌握平面向量的线性运算和数量积运算，理解向量的“平行四边形性质”、“极化恒等式”、“三角不等式”三个性质，及其构成的向量的代数系统，理解向量不同解法之间的区别与联系．

2. 根据具体的问题，学生能够用向量的代数系统的三个工具解决与之相关的平面向量的简单问题．

（二）过程与方法

通过平面向量线性运算和向量数量积，结合平行四边形法则，得到“平行四边形性质”、“极化恒等式”、“向量三角不等式”三个重要的性质，并对比总结代数和几何的联系与区别，让学生更加逼近平面向量代数本质，同时增加对已经学过知识的理解和掌握．

（三）情感态度与价值观

通过本节学习，培养学生的研究精神，培养学生的独立思考能力，观察能力，类比能力，合作交流能力，培养学生用整体数学知识来解决问题的意识，让学生感受向量代数是数学理论近代发展的结果，激发学生学习数学的兴趣，并使他们再遇到平面向量的问题解起来更加得心应手．

三、重点和难点[来源:学科网]

教学重点：概括证明得出平面向量代数系统三个重要的性质，并且能够解决一些简单的问题．

教学难点：理解向量代数系统；感受向量代数和几何的区别联系；选择合适方法多角度解决问题．

四、学情分析

1. 认知基础：平面向量是必修四第二章的内容，学生已经进行平面向量专题（一）的复***

面向量基本定理、坐标法解决平面向量问题，向量的数量积的几何意义等，已经进一步感受平面向量的数和形的特点，体会了平面向量工具作用；

2. 能力基础：本节课的授课对象为高一创新班学生，相较于普通高一学生，观察能力和数学抽象概括能力较强，所以我把“入门”的起点“放高”，同时将课堂的数学味“提升”；

3. 可能障碍：一是整合数学知识的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题．

五、教学过程[来源:学科网ZXXK]

（一）复习回顾

问题引入

1、复***面向量整章知识结构，提出问题引发思考，同时提出向量代数系统．

向量的代数系统

平行四边形的性质

（向量的加法、向量的数乘运算、向量的数量积）

极化恒等式

向量三角形不等式

由平面向量

基本定理

[来源学*科*网]

向量解析化

向量的投影

向量坐标化（特殊）

【设计意图】以学生关心的知识切入本节课，回顾知识的同时增强了知识系统的认识，激发学生的兴趣，揭示探究的必要性．

2、引例

证明平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和————平行四边形性质

证：因为在平行四边形中有：ACABAD,222DBABAD,平方得：

2ACABADAB2ABADAD

（1）

DBABADAB2ABADAD

（2）（1）（2）两式相加得：ACDB2ABAD所以平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和. 思考1 如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

（1）（2）两式相减得：ACDB4ABAD

221ABADABAD————极化恒等式

即ABAD4222222[来源:Zxxk.Com]

22

22思考2 在上图的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？

ABAD12AM422222MBAMMB

即ABADAMMB——把求两个向量的数量积转化为求相关的两个向量的模长

22

向量数量积的第二定义

思考3 利用三角形三边的关系，能得到什么不等关系呢？

令ABa，ADb则ababab和ababab—向量三角形不等式

【设计意图】从平面向量线性运算和数量积运算出发、结合欧式空间下的平行四边形法则，设计三个思考，让学生自己证明，复习了知识的同时，激发学生的兴趣，揭示性质的来源．

（二）性质应用

例题剖析

例1

在ABC中，M是BC的中点，AM3,BC10，则ABAC .

解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：

ABACAM2A 1MB=9-100=

-16

42B M C 【分析】在运用极化恒等式的形式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.

例2

在ABC中,P0是边AB上一定点，满足P0B1AB，

4且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP.则( ) 0BPC0A. ABC90 B.BAC90

C. ABAC D.ACBC

解：取线段BC的中点M，则4PBPCPBPCPBPC224PMBC

22要使得PBPC最小，只需要PM最小，只有当PMAB时候，PM最小，故ACBC

【分析】学生普遍反映该题无从入手，主要原因有两个（1）题目呈现的方式比较新颖；（2）学生解题工具使用不恰当，对比发现向量代数系统是从向量运算出发更为本质的思考，另外，本题从方法角度还有很多，考虑专题复习（二）不是一节习题课，而是强调的性质的应用，故突出工具的使用，为整节课定下基调．

M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，变式

已知直线AB与抛物线y4x交于A,B两点，若C0

满足C0AC0Bmin{CACB}，则下列一定成立的是( )

A. C0MAB

B. C0Ml，其中l是抛物线过C0的切线

C. C0AC0B

D. C0M

21AB

2

解：根据极化恒等式4CBCA4CMAB，因为AB是给定的，要使得CBCA最小，只需CM最小，也就是C0Ml,，其中l是抛物线过C0的切线。其实直线l（黑色）就是以定点M为圆心的圆与抛物线y4x相切时候的公切线．

【分析】该题目无论从形式上还是内涵上与2013年浙江省数学高考试题都是一模一样的．

例3 已知向量a,b的夹角为2222，ab5，向量ca,cb的夹角为，33ca23，则ac的最大值为

．

解：设aOA，bOB，cOC,则问题归结为已知AB5,AC23，AOB3,ACB2,求OAOC的最大值.由已知，O,A,C,B四点3共圆. 故圆的直径2RAB103，又AC23，取AC中点M，

sinAOB3222由极化恒等式得OAOCOMMAOM3，只要求OM范围即可.考虑到AC23为定值，M为中点，O为半径为OM53圆上一点，所以，当OM过圆心D时，有3DAMA22maxMDDO5333.ac的最大值为24. 3例4已知a,b为平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足ac( ) A. 1

B. 2

C. bc0，则c的最大值是2

22

D. 1解：

事实上由极化恒等式得：acbcab2c40

ab22ababababc故c即得2222由向量三角形不等式c22[来源:学|科|网]

abababab1cmn

，所以c22222由mn2ab222214故由不等式mn2mn2222，所以c2

【分析】这是一个比较容易的向量试题，一般采用数形结合的方式，通过画图获得结果，此题看视小题大做，但是事实上解答本源地反映了命题者的初衷，而且还有其他东西可以挖掘．

第一：互相垂直条件是多余的；

第二：cabab有明显的几何意义cek称为圆的向22量方程，表示向量c的终点的轨迹是以向量e终点为圆心，k为半径的圆；

第三：进一步得到abcotab；

变式1 已知a,b为2个单位向量，若向量c满足cabab，则c的最大值是( ) A. 22

B. 2

C. 2

D. 1 【分析】此题一般采用数形结合的方法，好入手但不好得出结论，更难一步到位，如果建立直角坐标系，计算过程也是比较繁琐和复杂的．事实上，abm，abn，mn2ab22224

cabcab，故cababmn2mn22222这样的解答简洁明了，故知道前面的方法不是“小题大做”，比较例4，变式1此种解法意义非凡．

变式2 已知向量a,b,c满足abab2，acb2c0，则c的最小值为( )

A. 31

B.

27337

C.

D.

2222212ab4c2ab0

解：2a2cb2c41111112ab4c2ab即cabab

设xab，yab

222222则x7，y3问题转化为在c11xy条件下，求c的最小值

221173xycxy 故c的最小值为

222【分析】此题在例4的基础上改造向量的系数，使得题目的难度增加，巧妙利用极化恒等式，可以使得问题变得容易入手，从这个问题的解决过程中可以发现，利用向量的“极化恒等式”把向量的数量积方程1b1bacb2c0转化为圆的向量方程caa是解题的突破口，随后利用“三角形不2222等式”便可顺利求解．此题一脉相承，题干简约而题意深刻，既可以用三个核心的工具解决，又可以用数形结合的方法来解决，这个题目也是很多省市高考题目的创意源泉．

【设计意图】平面向量专题复习课，例题的选择难度层层递进，三个性质分别体现，方法之间对比明显，向量代数化明显，凸显向量代数系统．

（三）课题练习

巩固提高

练习1（1）设向量a,b满足：ab23，ab2，则ab ；

（2）设向量a,b满足：ab23，ab2，则a与b夹角的取值范围是 ；

解：由ab2221abab2得ab2

42abab2ab2216，即cos2ab4ab221，得0

32练习2 记maxx,yx,xyx,xy，minx,y设a,b为平面向量，则( )

y,xyy,xyA. minab,abmina,b

B. minab,abmina,b

C. maxab,ab222a2b

D. maxab,ab22222a2b

2解：根据平行四边形性质abab2ab所以maxab,ab22

222221ababab

2而A.B都有可能正确，故选择D. 四、小结思考

向量的代数系统

平行四边形的性质

（向量的加法、向量的数乘运算、向量的数量积）

极化恒等式

向量三角形不等式

由平面向量

基本定理

空间向量

基本定理

向量解析化

向量的投影

向量坐标化（特殊）

空间向量解立体几何

这节课所涉及的向量的代数系统中的三个最核心的工具都是最常见的向量的性质，且都源于教材，将他们集中在一起，解决问题的时候得心应手。整合相关数学知识或者方法，使之系统化，更能够发挥其内在的力量，这也是数学能够长期发展的根本．

以“平行四边形性质”、“极化恒等式”、“三角不等式”作为刻画向量及其模长变化的工具，真正抓住了要领，这不是解题的技巧，我认为这是一种通法，我们追求的是本质的统一，简单自然的数学．