复习参考题教案设计

“与模有关的向量问题”教学设计

富阳区实验中学

蓝陈阳

一、学情分析

本校学生数学基础知识薄弱。数学思维能力欠缺，对数学方法的运用不够灵活，发现问题、分析问题、解决问题的能力也较弱，而且普遍缺乏学习数学的热情和学好数学的信心。

知识结构

已经学***面向量的相关知识，会运用已学的向量知识解决一些简单的模长问题，但对如何利用数形结合的方法来解决向量问题理解地还不够深入、掌握得还不够扎实。

学习能力

学生对向量的模长问题有了最基本的认识，但是只能运用代数方法解决一些简单的模长问题，还不具备处理需要运用几何法来解决的稍复杂问题的能力。

情感态度

由于数学基础薄弱，在数学活动中缺乏成功的体验，因此学生对数学有畏难的情绪，不能积极主动地进行思考、参与到数学活动中。

二、教材分析

“用向量方法解决模的有关问题”是“人教A版必修4第二章——平面向量”的复习课。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。对“用向量方法解决模的有关问题”的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义。

三、教学目标

知识与技能：①能通过向量运算研究几何问题中长度和夹角的关系。

②掌握向量在平面几何中的初步运用，会运用向量知识解决几何问题。

过程与方法：通过学***面向量模长问题的几何法，更加深入地理解“数形结合”的数学思想方法。

情感、态度与价值观：通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性。

四、教学重难点

教学重点：掌握有关模的有关问题的两种方法——代数法、几何法。

教学难点：几何法的应用。

五、教学过程

5.1复习公式，夯实基础（在热身训练的讲解过程中穿插公式的复习）

·向量的模和两点间距离公式

（1）向量的模（长度公式）：设a(x,y),则aaaxy或ax2y2

22（2）设A（x1x,y1），B（x2,y2）,则AB(x2x1),AB·向量夹角公式的坐标表示

x2x12(y2y1)2

ababx1x2y1y2设a(x1,y1),b(x2,y2),a与b夹角为（0），cosx1x222y1y222设计意图:在热身训练时将本节课要运用的公式进行复习，有利于学生在接下来的课堂中能够更加娴熟地运用公式，更加快速地解题，有利于课堂的推动。

5.2唤醒知识，导入新课（PPT与板书结合）

热身训练：1.已知a（（1）求a,b的值3，3）,b2,02(3)求a与b的夹角

2求ab2.已知a2，a2b27，a与b夹角为60，b________

师：解决平面向量的模长问题时，我们最常见的方法是什么？

生：平方法

设计意图：针对本校学生的学情，热身训练的设置充分体现了“低起点”。热身训练1是平面向量中最基础的——已知向量坐标求向量模长，求数量积及两个向量之间夹角的问题。从简单的问题出发，让班级里更多的学生（特别是学困生）能够主动参与数学活动，充分调动学生学习数学的积极性。热身训练2是基础的用平方法求向量模长，不仅起到对向量模长知识的复习作用，而且还给本节课的内容做了铺垫。由于本校学生的数学基础较差，一直以来难以在数学上获得成功的体验，如果一开始的题目就是难题，学生的上课热情就会像被泼了冷水一样，不利于之后课堂的学生参与。“低起点”可以将课堂的节奏减慢，有利于更多的学生（特别是学困生）跟上课堂的进度，激发学生的上课热情和学习数学的信心。

5.3剖析例题，发散思维

例一：已知b2，a3,a与b夹角为60，则atbmin________

师：在热身训练2的基础上，我们一起来看一看例一。这也是一个有关向量模长的问题，那么大家有没有什么思路呢？

生：可以利用平方法

师：atba2tabtb3-23t4t2，通过平方法，我们将求摸的最小值转化为我们熟悉的求一元二次函数的最小值。2222当t-3932时，有（atb），由于atb0,所以atb

minmin442除了平方法，我们还可以用什么方法呢？在研究向量的新课时，我们经常用到数形结合的方法，那在求向量模长的时候，我们也可以用数形结合的方法吗？

（教师在ppt上展示模长的变化）

变式（1）若ab且a与b的夹角为60，要使atb的值最小，则t的值为

师：我对例一的条件稍加改变，那么大家请思考一下，如果要使模最小，t的取值是什么？

（给予学生充分的时间思考，让学生在草稿纸上完成，并在投影中展示学生的答案）

生：

师：从例一和变式一可以看出，在向量模长问题中，几何法相较于代数法的优越性，更直观更容易分析，那么就请各位同学试试看，能不能用几何法来解决变式2的问题。

生：

变式（2）已知b2，a与b夹角为60，对任意实数tatb1恒成立，求a的取值范围。

变式（3）设为两个非零向量a,b的夹角，已知对任意实数t，bta的最小值为1，则（）B.若确定，则b唯一确定D.若b确定，则唯一确定

A.若确定，则a唯一确定C.若a确定，则唯一确定设计意图：例一的设置充分体现了“低起点、小坡度”。例一是本节课的重点，刚开始的时候，先让学生从熟悉的代数法——平方法入手。如果没有运算，向量只是个路标；如果有了运算，向量的力量无穷，代数法对于平面向量的学习是十分重要的，也是基础的，从它出发，衔接了热身训练2，同时也让学生的思维平稳过渡。而变式1，变式2是在例一的基础上进

行变化，一步一步地加大难度，加深学生的理解，从各个方面对例一进行变化，深度剖析例一，有利于学生对几何法的掌握。变式3体现了“分层次、高目标”。变式3是2014年的一道浙江高考题，难度较大，对数学的思维能力要求较高，但是通过例一、变式1、变式2的学习和思考，为变式3 做了充足的铺垫，能让更多的学生得到收获。

例二.已知a与b为单位向量，且ab0，若c满足cab1,则c的最大值为______

变式（1）已知a与b为单位向量，且ab0，若c满足cab1,则bc的最大值为______

变式（2）已知向量a,b，c,且a1,b2,c3,a与b的夹角为60，则abc最小值为设计意图：例二的解题也是利用几何法，是在例一的基础上对几何法的补充，利用圆来解决平面向量模长问题中的最值问题，是例一的又一延伸。例二的设置同样体现了“低起点、小坡度”，从求单个向量的模长开始，先让学生对于如何在利用圆来解决平面向量模长的最值问题有基础的了解；同时，单个向量的模长最值也最容易掌握，有利于增加学生学习数学的信心，激发学生的学习兴趣。变式1、变式2则是由例二的求单个向量的模长最值变化为求两个向量模长最值、求三个向量模长最值，一步一步加大难度，有利于学生的接受，最终的落点是有较高思维难度的求三个向量模长最值的问题，充分体现了“高目标”。不仅照顾到了学困生，而且考虑到了优等生。

5.4 总结方法

建构体系（由学生自己进行总结，教师请学生回答）

1.向量的模与两点间的距离公式。

2.向量夹角公式。

3.向量加减法的意义。

4.用代数法和几何法解决向量中模的有关问题。

5.5 布置作业

巩固提升

·完成作业本单元练习