探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学内容

第16讲

三角函数的图象和性质

【考纲解读】

能画出函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解三角函数性质，能解决三角函数的定义域、值域与最值、奇偶性、单调性、周期性等问题；会用“五点法”画y=Asin(x+)的简图，了解A、、的物理意义；掌握图象变换的规律。

【考向聚焦】

三角函数是中学唯一系统研究的周期函数，有关三角函数的最小正周期、单调区间、对称轴、最值等是必考知识点。

【学习重点】三角函数图象及性质

【学习难点】三角函数的综合问题

【知识梳理】

1．三角函数的图象与性质

函数性质

y = sinx

图

象

定义域

值

域

奇偶性

周期性

增区间

减区间

最

值

对称性

y = cosx

y = tanx

2．函数y=Asin(x+)(A>0, >0)的图象可通过

来作出，其关键是如何确定五个关键点；

还可通过

来得到，其过程为

。

3．函数y=Asin(x+)的物理意义：

21||振幅：|A|；周期：T=||；频率：f =T=2；

相位：x+；初相：（即当x＝0时的相位）．

4．图象变换规律：①横向变换、纵向变换先后互不影响；②每一次变换都是对x(或y)而言．

注意：在图象变换中，先“平移后伸缩”与“先伸缩后平移”中的平移量是不一样的．

（1）先平移后伸缩

（2）先先伸缩后平移

y = sinx

y = sinx

y = sin(x+)

y=sinx

y=sin(x+)

y=sin[(x+)]= sin(x+) 考点一：三角函数的性质

例1：（1）（2016年北京高考）已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间. （2）已知函数f(x)=4cosxsin(x+6)1．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间[－6,4]上的最大值和最小值。

考点二：三角函数的图象及变换

例2．1. （16年四川）

为了得到函数y=sin有的点

(x)3的图象，只需把函数y=sinx的图象上所x

x

Asin(x)0

0 π2

π

π3

3π2

5π6

2π

A.向左平移3个单位长度

B.向右平移3个单位长度

0

5 5

C.向上平移3个单位长度

D.向下平移3个单位长度

2.为得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可将函数y=2cos3x的图象（

）

A.向右平移12个单位长

B.向右平移4个单位长

C.向左平移12个单位长

D.向左平移4个单位长

3.(15年湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)(0,

2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式

（Ⅱ）将y=f(x)图象上所有点向左平行移动

6

个单位长度，得到y=g(x)图象，求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心. 练习：1.（

15年山东）要得到函数y=sin(4x-3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（

）

A.向左平移12个单位

B.向右平移12个单位

C.向左平移3个单位

D.向右平移3个单位

2.（16年全国III）函数ysinx3cosx的图像可由函数y2sinx的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

考点三：由图象求三角函数的解析式

例3: 1.（13年四川）函分别是

(

) A．2,f(x)2sin(x)(0,2)2的部分图象如图所示,则，的值3

B．2,6

C．4,6

D．4,3. 2.（15年新课标1）函数则f(x)的单调递减区间为（

）

13(k,k),kZ44A.

13(2k,2k),kZ44B.

f(x)cos(x)的部分图像如图所示，13(k,k),kZ44C.

13(2k,2k),kZ44D.

练习：1、（16年全国II）函数y=Asin(x)的部分图像如图1所示，则（

）

y2sin(2x)y2sin(2x)6

B.3

A.y2sin(2x+)y2sin(2x+)6

D.3

C.

图1

图2 ππ4π4π2．函数y＝sin（2x+φ）的图象如图2，则φ的值为（

）A. 3或3

B. 3

C. 3

D. 2π3

3．（

15年陕西）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(6x

＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

考点四：对称轴、对称中心

1．（12年福建）函数f(x)=sin(x4)的图象的一条对称轴是（

）

A．x=4

B．x=2

C．x=4

D．x=2

2. （16年浙江）函数y=sinx2的图象是（

）

练习：1.（12年陕西）函数f(x)=Asin(x6)+1(A>0,>0)的最大值为3，

其图象相邻两条对称轴之间的距离为2．(1)求函数，f(x)的解析式

（2)设(0,2)，若f(2)=2，求的值．

1ππf(x)sin(x)cos(x)536的最大值为（

）

2.(17年课标3)函数631A．5

B．1 C．5

D．5

3．（17年山东）函数y3sin2xcos2x

最小正周期为（

）

π2πA.2

B. 3

C.π

D. 2π

4．（17年天津）设函数f(x)2sin(x),xR，其中0,||π.若f(5π11π)2,f()0,f(x)的最小正周期大于2π，则

88且,（A）23π211π,12（B）312

11π17π,24（D）324

,（C）13

5．（17年课标II）函数f(x)2cosxsinx的最大值为____

.

【课后练习】

π11．（16年全国I）将函数y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后，所得图像对应的函数为（

）

ππA.y=2sin(2x+4)

B.y=2sin(2x+3)

ππ

C.y=2sin(2x–4)

D.y=2sin(2x–3) 2．（16年上海）若函数

3．(14年安徽)若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称，则的最小正值是（

）

33A.8

B.4

C.8

D.4

x4（12年全国3）若函数f(x)=sin3([0,2])是偶函数，则=(

) 352A．2

B．3

C．2

D．3

f(x)4sinxacosx的最大值为5，则常数a______. 5．( 14年山东)函数

y3sin2xcos2x2的最小正周期为

. 6．(14年江苏)已知函数ycosx与ysin(2x)(0≤),它们的图象有一个横坐标为3的交点，则的值是

.

2f(x)13sinx的最小正周期为__ 7．（15年上海）函数

8．（

15年湖南）已知>0,在函数y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则

=_____.

29．（16年山东）设f(x)23sin(πx)sinx(sinxcosx)

. （I）求f(x)得单调递增区间；（II）把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2ππg()倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3个单位，得到函数yg(x)的图象，求6的值.