2.1.2 向量的几何表示教案3

教学设计

普通高中课程标准实验教科书·数学4（人教A版）必修

2．1平面向量的实际背景及基本概念

一、

内容及其解析

（一）内容：本节内容是对平面向量的基本概念的认识和理解，正确进行向量的几何表示。

（二）解析：本节内容以位移、力等物理为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，并说明向量与数量的区别。让然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

二、目标及其解析

（一）教学目标：了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。会判断两向量是否相等。

（二）解析：

三、教学问题诊断

“向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线区别和联系”是学生易错易混的问题。在教学中应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，要求学生举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点。

四、教学基本流程

探究向量的几何表示

回顾物理背景，形成向量的概念

小结与作业

例题与练习

向量的基本概念

五、问题与例题

问题1：阅读2.1.1向量的物理背量与概念，请问时间、路程、功、速度、加速度中哪些是向量？为什么？

设计意图：通过物理课中学过的位移、力等矢量，抽象形成数学中的向量概念，建立学习向量的认知基础，同时培养学生的自学习惯和能力。

师生活动：教师——在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量只用一个实数就可以表示，如质量等，还有一些量，如物理中的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量，什么是向量呢？请阅读教科书P74 2.1.1节。

学生——学生阅读教科书，归纳总结向量的意义，并举例加以说明。

思考：时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？

问题2：向量是既有大小、又有方向的量，那么如何直观地描述向量呢？

设计意图：通过问题，激发学生的探究欲望，突出以问题为中心，突出学生的主体地位。

师生活动：教师——回顾物理学科中是如何表示力这一向量的，如：画示意图，分别表示一个竖直向下、大小为20N的力和一个水平向左、大小为30N的力（1cm的长表示10N）

学生——解决老师提出的问题，感受向量可以用有向线段表示，并尝试总结回答。

师生——交流、总结向量的几何表示。

→

（1）向量可以用有向线段直观的表示，向量的大小用有向线段AB的长度，

→

|AB|

记作

；向量的方向用有向线段

的方向表示。

AB

→

，

→

，…表示，或用表示向量的向线段的起

（2）向量也可以用字母

→a

，b c ．．点和终点字母表示，例如

AB，CD 。起点要写在终点的前面。

问题3：零向量、单位向量的意义是什么？如何表示零向量？它们的长度和方向是怎样规定的？

零向量、单位向量的意义。

长度为0的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量。

问题4：平行向量与相等向量的区别与联系是什么？

设计意图：类比是发明的引路人，让学生类比实数、几何理论中的相应概念，合理地定义向量的有关概念，使其体验科学的探究方法，培养其创新能力。

师生活动：教师——向量兼有“数”和“形”两个特点，作为“数”，有运算和相等之说，作为形，有位置关系如平行、垂直之说。研究、学习向量，自然少不了对这些的研究，那么，请同学们首先类比“实数中的相等，图形中的平行”，

思考：如何描述“向量的相等”“向量的平行”呢？

学生——通过类比，尝试合理定义向量相等、平行等概念。

※

说明：这里一定要给学生足够的思维时间，让其去尝试刻画。

师生——交流总结“向量的相等”“向量的平行”的意义。

→

。

（1）相等向量——长度相等且方向相同的向量叫相等向量，记作

→a = b

任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段表示，因为向量完全由它的方向和模确定，从而向量可以平行移动。

→

（2）平行向量——方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量→a

= b

→

平行，记为→a // b. 规定零向量与任一向量平行。由于任一组平行向量都可以平行移动到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。

思考：表示两个非零平行向量的有向线段所在的直线位置关系如何？

问题5：a>b或a∣b∣或∣a∣<∣b∣成立吗？

设计意图：进一步加深对向量概念的理解。

例题与练习

设计意图：能过例题与练习，理解巩固向量及其表示，增加向量的直观感受。

师生活动：教师——出示例1、例2做成投影片。

学生——完成例1、例2。

师生——师生交流、点评。

→

→

思考：结合例2图形回答：（1）与AB相等的向量；（2）与AB模相等的向→

量；（3）与AB平行的向量。

教师——让学生进一步完成目标检测。

→

→

六、目标检测

1、画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为18N的力和一个水平向左，大小为28N的力（1Cm长表示10N）

2、非零向量BA的长度怎样表示？非零向量BA的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？

3、指出图中各向量的长度。

4、（1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？

（2）用用线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？

七、课堂小结

（1）通过本节学习，你对数学的学习有什么感受？

（2）本节主要学习了向量的哪些主要概念？

（3）本节主要用到了哪些数学思想方法？

设计意图：学生把知识系统化，建立良好的知识结构。

（1）通过本节学习，我们可以感受到：数学中的许多概念、方法来源于现实世界、科学现象，是通过抽象概括出来的；反过来，数学知识又应用于实践。

（2）本节学业习了向量的许多概念，有的只涉及向量的大小，有的只涉及向量的方向，有的与向量的大小、方向都有关。

（3）向量兼有“数”和“形”的两个特点，所以我拉在学习向量时，既要关注它的代数特佂——长度，又要关注它的几何特征——方向。

（4）向量中的许多概念的学习都可以由代数、几何中的概念类比得到，这种类比的方法，对于培养创造能力很大的好处，当然还要注意类比的概念、命题是否合理，是否正确。

八、配餐作业

A组题

1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：

（1）∣OA∣=4，点A在点O正南方向；

（2）∣OB∣=22，点B在点O北偏西45º方向；

（3）∣OC∣=2，点C在点O南偏西30º方向。

2、一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60º走300米到达点C，然后再向北偏东45º走100米到达D。试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。

3、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，写出图中与DE、EF、FD相等的向量。

4、如图，在方格纸上的□ABCD和折线MPQRST中，点O是□ABCD的对角线的交点，且OA=a，OB=b，AB=c，分别写出图中与a、b、c相等的向量。

B组题

1、已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量AD的模∣AD∣。

2、判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“ⅹ”），并说明理由。

（1）若a、b都是单位向量，则a=b。

（

）

（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量。

（

）

（3）方向为南偏西60º的向量与北偏东60º的向量是共线向量。

（

）

（4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。

（

）

C组题

1、有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量。你同意他的看法吗？温度、角度是向量吗？为什么？

2、在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别为AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中，相等非零向量共有多少对？