4、积的变化规律教学实录

教学目标：

1、让学生探索并掌握“一个乘数不变，另一个乘数乘几，得到的积就等于原来的积乘几”这一规律，为下一节课学习乘数末尾有0的多位数乘法做准备。

2、其次让学生经历“发现—猜想—验证”这一合情推理的过程，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

教学重难点：

引导学生经历合情推理的过程，能运用这一方法自主探索积的变化规律。

教学过程：

一．利用旧知引发“合乎情理”的联想，让学习自然发生。

1、师：根据第一题的结果直接写出下面三题的结果并说出理由。

（出示）32÷8=4 （32×10）÷（8×10）=（ ）

（32÷4）÷8=（ ）

32÷（8×2）=（ ）

2、师：同学们已熟练掌握了商的变化规律，那从商的变化规律，你能联想到什么？

生：既然商有变化规律，我想知道积有没有变化规律？

师：乘除法有着密切的联系，这个同学从除法联想到了乘法，很有道理。那这节课我们就一起来探索学习“积的变化规律”（出示课题“积的变化规律”）

【设计意图：合情推理的标准虽然不甚严格和确凿，推理的结果有偶然性和或然性，但它绝不是完全的凭空想象，而是根据一定的事实、情境，基于一定的知识经验作出的合乎情理的探索性的判断。四年级上册学生已经学习了“商的变化规律”，也积累了一定的思维活动经验。另外，乘法与除法一样，都属基本四则运算，引导学生从除法的变化规律联想到乘法的变化规律，有利于培养学生

“合乎情理”的联想能力，也为后面的猜想做准备。】

二．聚焦一点引发猜想，经历合情推理的过程。

（一）引发猜想。

师：根据已有的学习经验谁来猜想一下：一个乘数不变，另一个乘数发生怎样的变化，积又会发生怎样的变化？

（出示）乘数

× 乘数 = 积

（不变）（怎么变？）（又怎么变？）

生1：一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也要乘几。

生2：一个乘数不变，另一个乘数除以几，积也要除以几。

（二）举例验证。

师：要知道大家的猜想是否正确，我们可以怎么办？

生：我们可以举举例子，看看是否符合这个规律。

师：是的，教材跟我们的想法是一样的。它举了“20×3=60”这个例子。

师：仔细观察表格的第二行，已知什么？要我们求什么？

生：一个乘数不变，另一个乘数乘2，求现在的积是多少？积发生了怎样的变化？

师：那这一行呢？（再指着第四行）同桌互相说一说。

师：请同学们把书上的表格填写完整。

师：观察表格你发现了什么？

生：我发现刚才生1的猜想是正确的，一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也要乘几。

师：这只是从一个例子中发现的，是不是其它的例子也符合这一规律呢？有没有反例呢？下面请同学们自己来举例验证。

（汇报）生1：我举的例子是：2×3 = 6 2×（3×10）=（6×10）

师：大家举的例子都符合这一规律吗？有没有反例？

生2：我有，我举的例子是：12×5=60 （12×0）×5=（60×0）

师：这个同学想到了特殊的数字0，我们仔细观察：一个乘数不变，另一个乘数乘0，积也乘0，这是正例还是反例？

生异口同声回答：这是正例。

师：那你们找到反例了吗？

生：没有找到。

（三）归纳结论。

师：现在谁能大声地把这一规律完整说一遍。

（出示）一个乘数不变，另一个乘数乘几，积等于原来的积也乘几。

师：那另一个同学的猜想：“一个乘数不变，另一个乘数除以几，积也要除以几”也成立吗？能找到反例吗？

生：我找到了一个反例：2×3 = 6 ，2不变，3除以0，就不成立，因为除数不能为0。

师：太好了，我们只要找到一个反例，这个结论就不成立，那想想看，怎样修正，能使结论成立？

生：只要添上（0除外），结论就成立了。

师：现在谁能把这两个结论完整说一遍？

（出示）一个乘数不变，另一个乘数乘几，积等于原来的积也乘几。

除以几（0除外） 除以几

【设计意图：提出猜想很可贵，但要让学生明确猜想不等于正确的结论，有时猜想是错误的或不完善的，猜想还要经过必要的验证，对于小学生来说，由于所学知识的局限，举例验证是一种常用的验证方法

，验证时特别要引导学生依据反例对原先的猜想作出适当的改进和调整，培养学生思维的严密性和严谨的科学态度。】

（四）实践应用。

1、师：学习了这一规律有什么用呢？

生：可以使计算简便。

师：回忆一下，在以前的学习中我们曾经运用这一规律解决过哪些有关的计算？ 生：比如我们以前学过的口算：20×3=60，先算2×3=6，再在6的后面添一个0。

师：你能用刚学到的知识来解释这一现象吗？

生：因为一个乘数不变，另一个乘数乘10,原来的积也要乘10。

师：这个同学真会学以致用，了不起！

2、完成P33：练一练1、2 。

【设计意图：所有的数学知识都要在应用中才能体现它的学习价值，才能真正得以巩固。教学中教师要及时沟通新旧知识之间的联系，通过变式训练来帮助学生加深对知识的理解和掌握，培养学生学以致用的能力。】

三．多维度猜想，让学习向思维更深处漫溯。

师：看着这一结论，你还会联想到什么？

生：刚才都是一个乘数不变的情况，那如果是积不变呢？

师：这个同学真会联想，能在变与不变中进行转换，了不起！是呀，如果要使积不变，乘数该发生怎样的变化？

（出示）乘数

× 乘数 = 积

（怎么变？）（怎么变？）（不变）

生（甲）：我觉得两个乘数要同时乘或除以相同的数，积不变。

生（乙）：我认为不对，应该是一个乘数乘几，另一个乘数除以相同的数，积不变。

师：要知道谁的猜想是正确的，我们可以怎么办？

生（异口同声）：举例验证。

师：那我们就开始吧！

生1：我举的例子是：4×8=32 （4×2）×（8×2）=128 说明生（甲）的的猜想是错误的。

师：对，只要能举出一个反例，就说明这个结论是错误的。

生2：我举的例子是：4×8=32 （4×2）×（8÷2）=32 说明生（乙）的猜想是正确的。

生3：我也觉得生（乙）的猜想是正确的。我举的例子是：5×10=50 （5÷5）×（10×5）=50 生4：我觉得还要加上0除外，因为除数不能为0。

（同学们都频频点头）师：是的，要使这个结论成立，必须加上0除外。

生5（很兴奋地举手）：我找到了反例，我举的例子是：6×4=24 （6÷3）×（4×2）=16 生6：这个同学举的例子不对，它不符合生（乙）的猜想。

师：是的，但从这个同学的例子中再次说明了什么？

生7：说明要使积不变，除了“0除外”，还要强调“乘和除以的是相同的数，积才会不变。”

生8：我还发现了一个特点：积的变化与乘数的变化是相同的。比如：一个乘数除以3，另一个乘数乘2，原来的积也要除以3和乘2。

师：你真是火眼金睛。但我们现在就能下此结论吗？我们还需要——（生异口同声：多举一些例子验证一下。这时有一个同学抢着说：关键还要看有没有反例。）

师：大家说得太好了，那我们还等什么，开始吧！

【设计意图：教师要具有

“未来智慧”的教育视角，努力培养学生的好奇心，启发人的智慧，引导学生积极、主动地追寻有意义的学习。在这里教师通过开放性的问题，引导学生一次次地去大胆猜想，举例验证，让思维不断向纵深潜行，这一学习历程远比停留在让学生知道和记住一两条规律更有价值，因为“授人以鱼不如授人以渔”。】

四．课内向课外延伸，让猜想支撑起知识的架构。

师：大家通过不断地猜想和验证得到了积的变化规律，太了不起了！积与商有变化规律，那有没有和或差的变化规律？请同学们课后运用今天所学的方法，自己去探索和发现。

【设计意图：学习完积的变化规律后，学生的学习进程并没有结束，而是把学习又推向了一个更高、更自主的平台。商与积有变化规律，对于四则运算中的加、减来说，学生有着更加丰富的学习经验，完全可以展开充分的猜想，在“变与不变”这一数学思想的大背景下自己去寻找规律，形成知识架构。】

课后反思

1、学习目标应是能力智慧的体现。

学生学习不应以获得知识和技能为最终目的，而应把它作为一种手段自主地去解决与之相关联的任务，学到更多的知识。因此，本课的教学只是把教材上的例题作为特例，让学生经历合情推理的过程，掌握“猜想—验证”的方法，然后通过多层次的联想，促进学生积极主动地运用这一方法自主地去完成相关的学习任务。

2、学习活动应以基本问题为驱动。

教师要围绕基本问题设计教学框架，这样能帮助学生学习关联知识，激发思考，引导探究，也更注重学生学习体验。因此，本节课的基本问题不能仅仅定位于“积有怎样的变化规律”，而应该紧紧围绕“根据商或积的变化规律你联想到了什么？有怎样的猜想，如何验证？”这个更具总括性的问题展开，因为这个问题更具有可迁移性和影响力，它能为相关内容的学习提供锚点，引导学生更深入的学习和探究。

3、学习内容应以结构化的形式呈现。

布鲁纳认为：在没有相互关联的结构基础上所获得的知识非常容易被遗忘，这种学习毫无智力成就的快感。因此，本课的教学不能让学生独立地去探索一个个规律，而应纳入“变与不变”这一数学思想的大背景下进行思考和梳理，让学习内容以结构化的形

式呈现，这样才能让学习真正发生，同时也能让学生强烈地感受到数学思想的魅力。