2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案及板书设计

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

【教学目标】

1.知识目标：

①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标， 会作出已知坐标表示的向量；

②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊

的归纳能力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算

突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析.

【教学过程】

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线且是非零向量；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式唯一，λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向量的坐标表示.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标. 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．平面向量的坐标运算

ab(x1x2,y1y2)

b(x2,y2)，(1) 若a(x1,y1)，则ab(x1x2,y1y2)，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 分析：设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

(2) 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 分析：AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1，

y2 y1) (3) 若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 分析：设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 例2

已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标. 例3

已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这

四点构成平行四边形四个顶点. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，

2)；

当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，

6)；

当平行四边形为DACB时，得D3=(6，

0). 例4 已知三个力F1(3，

4)，F2(2，

5)，F3(x，

y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的

坐标. 解：由题设F1+F2+F3=0

得：(3，

4)+ (2，

5)+(x，

y)=(0，

0) 即：

32x0x5

∴

∴F3(5，1) 45y0y1四、课堂练习：

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

.

3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，

求证：四边形ABCD 是梯形.

五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

课前预习学案

一、复习回顾：

平面向量基本定理：

理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的

; (2) 基底不唯一，关键是

；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、提出疑惑：

如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何？

课内探究学案

一、探究学习

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得



1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做

，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做

与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i=

,

j=

,

0=

. 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab=

，ab=

.

结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 分析：设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab=

，同理可得ab=

.

（2）

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 分析：AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)=

. （3）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 分析：设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

二、讲解范例：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标.

例2 已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2，

1)，

B(1，

3)，

C(3，

4)，求点D的坐标使这

四点构成平行四边形四个顶点.

例4已知三个力F1(3，

4)，F2(2，

5)，F3(x，

y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.

三、课堂练习：

1．若M(3，

-2)

N(-5，

-1) 且

MP1MN，

求P点的坐标

22．若A(0，

1)，

B(1，

2)，

C(3，

4) ，

则AB2BC=

. 3．已知：四点A(5，

1)，

B(3，

4)，

C(1，

3)，

D(5，

-3) ，求证：四边形ABCD是梯形.

课后练习与提高

1、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则OA=_______________，OB=__________________。

2、已知向量|a|

4,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则a的坐标为_____________。

3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（

）

A．a(0,0),b(1,2)

B．a(1,2),b(5,7)

C．a(3,5)b(6,10)

D．a(2,3)b(4,6)

4、已知向量a(2,4) b(1,2)则a与b的关系是（

）

A．不共线

B．相等

C．同向

D．反向

5、已知点A（2，2）

B（-2，2）

C（4，6）

D（-5，6）

E（-2，-2）

F（-5，-6）

在平面直角坐标系中，分别作出向量AC

BD

EF并求向量AC

BD

EF的坐标。