2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学目标

《向量的正交分解及坐标表示》教案 【教学目标】：

1．

在平面向量基本定理的基础上理解向量正交分解的合理性，培养学生直观想象核心素养，是本节难点。

2．

能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的数学运算素养是本节重点。

2．通过学习向量的坐标表示，使我们进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联系，培养学生辨证思维能力.

【目标解析】：

达成上述目标的标志是：

1.

从情景中理解正交分解的合理性和必要性，能对向量进行正交分解。

2.

准确写出向量的坐标表示，并能进行加减运算。

【教学方法】：

(1)自主性学习+探究式学习法：

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 【引入思路】：

一、复习

1.平面向量基本定理；

2.什么是平面向量的基底？

共面向量定理

二、引入：

（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？

（2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？

学生分析设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量

e1a

MCN B e2

O

OA=e1 OM=1e1 OC=a=OM+ON=1e1+2e2

OB=e2 ON=2e2

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e1+2e2．我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面向量定理. ．．【注意】：（1）e1,e2均非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向．．．量的一组基底. （2）基底不惟一，当基底给定时，分解形式惟一；1，2是被a，e1，e2唯一确定的数量

（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. ．．．．（4）20时，a与e1共线；10时，a与e2共线；120时，a0

基底：我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

三、思考

【问题1】:（教材P69例1）：平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，ABa,ADb,试用向量a,b表示MA,MB,MC,MD。

结论：由作图可得a1e1+2e2

【问题2】：对于向量a,1和2是否是惟一的一组？

四、研探学习

正交分解：一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a1e1+2e2的形式，我们称它为向量a的分解，当e1,e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解。那么每一个平面向量只对了唯一一对有序数对，从而每个向量就与

坐标建立了一一对应关系。

【思考】：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？

探究1:以O为起点， P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？y a o x P

探究2:在平面直角坐标系内，若起点不在坐标原点O的向量，如何用坐标来表示?

叙述平面向量的坐标表示

下面学***面向量的坐标运算法则：

b=(x2, 探究1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1, y1) ，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？

探究2：根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？

平面向量的坐标运算法则：

（1）两向量和的坐标等于_______________________；

（2）两向量差的坐标等于_______________________；

（3）实数与向量积的坐标等于__________________________；

思考：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？

五、典型例题

例1.已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，→且MN与AD交于点F，求DF的坐标．

练习：已知a=(2,1), b=(－3,4),求 a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.

例2．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

六、课后小结

（1）正交分解使我们引进向量的坐标，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为代数运算。

（2）要把点坐标与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。

七、课后练习与提高

1．已知平面向量a(1,2)

，b(m,n)

，且2ab，则2a3b等于（ ）

A．(2,4) B．(3,6) C．(5,10) D．(4,8)

2 .已知a(2,3)，b(1,2)，若kab与akb平行，则k等于（ ）

A. 1 B. -1 C.1或-1 D.2

3.已知a(5,2)，a(7,2)，则4a3b的坐标为____________. 4已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP=AB+λAC(λ∈R) ，则λ为_______时，点P在一、三象限角平分线上. 5 .已知a(2,4)，b(1,3)，c(6,5)，pa2bc，则以a，b为基底，求p.