复习参考题教学设计(第二课时)

4.1同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝

. sin α(2)商数关系：＝

cos α2．各角的终边与角α的终边的关系

角

2kπ＋α(k∈Z) π＋α

－α

图示

与角α终边的关系

角

π－α

π－α

2

π＋α

2图示

与角α终边的关系

3.六组诱导公式

组数

角

正弦

余弦

正切

口诀

【知识拓展】

一

2kπ＋α(k∈Z)

二

π＋α

函数名不变

符号看象限

三

－α

四

π－α

sin α

五

π－α

2

六

π＋α

2

函数名改变

符号看象限

1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．

2．同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sin α±cos α)2＝

；

(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝

；

(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝

. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(

) sin α(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(

) cos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(

) π(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶2数倍，变与不变指函数名称的变化．(

)

51．(2015·福建)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(

) 13121255A.

B．－

C.

D．－

55121212．(教材改编)已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为(

) 21A．±

2C.3

21B.

23D．±

21110π＋cos π等于(

) 63B．1 13D.－

22sin α＋4cos α＝

. 5sin α－2cos α3．(2016·东营模拟)计算：sin A．－1

C．0

4．(教材改编)若tan α＝2，则π2cos 3x，x≤2 000，5．已知函数f(x)＝则f(f(2 018))＝

. x－18，x>2 000，

题型一

同角三角函数关系式的应用

15π3π例1

(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(

) 842A．－3

2B.3

23C．－

43D.

4(2)化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝

.

sin α思维升华

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可cos α以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于(

) A．－1

C.

题型二

诱导公式的应用

3sin2π－x·cosπ＋x221π例2

(1)(2016·长春模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝

. 114cos3π－x·sinπ－x2sinkπ＋αcoskπ＋α(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(

) sin αcos αA．{1，－1,2，－2}

C．{2，－2}

思维升华

(1)诱导公式的两个应用

①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．

②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．

(2)含2π整数倍的诱导公式的应用

B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} 2

2B．－D．1 2

2

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 3πtanπ＋αcos2π＋αsinα－2

(1)化简：＝

. cos－α－3πsin－3π－απcos＋α·sin－π－α2(2)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为

．

11π9πcos－α·sin＋α22

题型三

同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

π例3

(1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，2则sin α的值是(

) 35A.

5310C.

10

引申探究

本例(2)中若将条件“－π

思维升华

(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．

ππ3＋α＝，α∈0，，则sin(π＋α)等于(

)

已知sin2523A.

54C.

53B．－

54D．－

5

37B.

71D.

3

41．(2016·西安模拟)已知cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值等于(

) 54A.

34C．－

33B.

43D．－

43π3ππ2．已知tan(α－π)＝，且α∈(，)，则sin(α＋)等于(

) 42224A.

53C.

53．若角α的终边落在第三象限，则A．3

C．1

4B．－

53D．－

5cos α2sin α的值为(

) 2＋1－sin

α1－cos2

αB．－3 D．－1 π4．若sin(π－α)＝－2sin(＋α)，则sin α·cos α的值等于(

) 22A．－

522C.或－

551B．－

52D.

55．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 017)的值为(

) A．－1

C．3

B．1 D．－3 π3π6．已知α为钝角，sin(＋α)＝，则sin(－α)＝

. 444

17．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. 5(1)求sin Acos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求tan A的值．