2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录【2】

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

【学习目标】

1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

【新知自学】

知识回顾：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2；

使得

给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2由a，e1，e2唯一确定.

2.

向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OAa，OBb，则∠AOB＝，叫向量a、b的夹角，

当= ，a、b同向；当= ，a、b反向（同向、反向通称平行）；

当= °，称a与b垂直，记作ab。

新知梳理： 由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。

1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个 的向量。

思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

2．平面向量的

如图，在直角坐坐标表示

标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相

同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对1

实数x、y，使得a=xi+yj………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作2

a=(x,y)………○其中x叫做a在x式叫做向量的坐标表2轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i=(1,0) j=(0,1)，0=(0,0). 3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。

如图，在直角坐标y A 平面内，以原点O为起点作OA=a，则点定. 向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；O x A的位置由a唯一确设OA=xi+yj，则反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.

对点练习：

1. 如图，向与i的夹角是B P 量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向 量a=_________

a

j

O iA

2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O，终点A落在直线yx上，且模长为1的向量OA的坐标是___________

【合作探究】

典例精析：

例1：请写出图中向量OA,OB,BC的坐标

y

O B (4,-1) x A(2,3) C(6,2)

变式1：请在平面直角坐标系中作出向量a、b，其中a=（1,-3）、b=（-3，-1）.

例2:如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。



变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求向量OA的坐标

【课堂小结】

向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。

将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。

【当堂达标】

1、已知力F在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力F的实际大小是0

__________，若水平方向为x轴的正方向，竖直方向为y轴的正方向，则力F的坐标表示是______________

2、若OAxiyj，（i，j为单位向量），则OA的坐标（x，y）就是____的坐标，即若OA=（x，y），则点A的坐标就是_______________。

3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量AC,CB,OC

的坐标。

【课时作业】

1．设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且A 0 x C y B OA4i2j，

OB3i4j，则△OAB的面积等于（ ）

A、15 B、10 C、7.5 D、5

2、在平面直角坐标系中，A（2,3），B(-3,4)，如图所示，x轴，y轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是__________

①OA2i+3j;②OB3i+4j; ③AB-5i+j;④BA5i-j.

A(2,3)

3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OC=6，AOC60，则用坐标表示下列向量：OC_______________；

0B(-3,4) y O x CB______________；OB______________；

OA______________；

4.在直角坐标系xoy中，向量a,b,c的方向如图所示，且|a|2,|b|3,|c|4，分别写出他们的坐标。

O A y

C B x

y b

300

O a

450

300

x c

5.如图，已知O为坐标原点，点A在第一象限，|OA|43，xoA60，求向量OA的坐标。

y

O x 0A

【延伸探究】

在平面直角坐标系中，A（1,1），B（-2,4），则向量AB的坐标是_________