2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案（名师）

平面向量的正交分解及坐标运算

--------教学设计

一．

教学内容解析

本节课的内容选自人教A版必修4平面向量的坐标运算及其共线的坐标表示,在学***面向量基本定理及其坐标表示的基础上，进一步研究平面向量的坐标运算。

向量是一个数学模型，又是一个数学工具。作为数学模型，它需要从不同的角度（几何或代数）建构或完善自己身的数学体系；作为数学工具，它是一种方法，用以解决几何（平面几何，立体几何，解析几何）、代数、三角、物理等方面的问题。

向量是既有大小又有方向的量，向量是数形结合的体现。但是前面所研究的向量加法、减法、数乘等运算中，都是从“形”的角度展开，很多问题需要借助平面图形的几何性质才能解决，这给向量的深入研究带来了很多困难，有必要从“数”的方向进行研究，而向量的坐标表示正是适逢其时，使得形与数二者相互结合、互为补充，开辟了向量运算的新天地。

平面向量的坐标运算及其共线向量的坐标表示是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的。向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入

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坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。

二．

教学目标设置

1.知识与技能：掌握平面向量坐标运算，包括平面向量的加法、减法与数乘运算．掌握平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 2.过程与方法：大胆让学生自己探究向量的坐标运算及共线向量的坐标表示，这是向量的代数运算，利用向量的坐标可以使向量运算完全代数化，实现了形向数的转化. 3.情感、态度与价值观：了解向量是数形结合的体现，要从“数”的方向研究向量，这对学生来说学习并不困难，趁机培养学生的学习兴趣及探索精神．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 三．学生的学情分析

本节课是在学习了向量的概念和表示、向量的线性运算以及平面向量基本定理后，开始研究平面向量的坐标运算。向量的坐标运算及共线向量的坐标表示是向量的代数运算，这对学生来说学习并不困难，可以大胆让学生自己探究。教师在引导学生探究时始终抓住向量具有几何与代数的双重特征这一属性和向量具有数与形结合的这一特点，利用已有的知识，进一步熟悉向量的坐标运算及共线向量的坐标表示，能体会向量代数化的重要作用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力。

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四．

教学策略分析

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

针对本节课的教学目标和学生的实际情况，在教学中采用“问题教学法和引探式教学法”的教学方法。应用多媒体课件辅助教学。

五．教学过程设计

（一）复习回顾

1.平面向量的加、减运算及其几何意义：

向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）。

ab

b a a

bab

向量的减法：OAa，OBb

则

BAab。（共起点，连终点，方向指向被减数）。

a

b

ab

2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方

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向相同的两个单位向量i,j作基底，对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得向量axiyj，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作：a(x,y) 3.向量共线定理：向量a(a0)与向量b为共线向量，当且仅当有唯一一个实数使得ba

【设计意图】以提问的方式完成对旧知识的复习巩固，为本节课探究新知打下坚实的基础。

（二）情境引入（提出问题，激发学生学习兴趣）

以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。学习了向量的坐标表示后，我们知道向量也可以用代数的方法，即用坐标来表示。那么向量的运算就可以通过坐标运算来完成，问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算及其共线的坐标表示。（板书课题）

（三）探索研究（教师当导演，学生做主演，教师积极启发学生思考）

①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a(x1,y1),b(x2,y2),你能得出ab,ab,a的坐标表示吗? 活动:学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,可得: ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)

同理ab(x1x2,y1y2)

a(x1iy1j)x1iy1j

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a(x1,y1)

教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. [设计意图]

推导公式，明确运算法则．设计的提问题是学生利用向量已有的知识可以解决的，这样激发了学生学习数学的兴趣，有意识地培养学生分析理解问题的能力。

②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2x1,y2y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?

图1 讨论结果:

AB=OB-OA=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1,y2y1)

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 【设计意图】通过向量的减法运算．说明一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.

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③如何用坐标表示两个共线向量? 活动:此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设当且仅当有唯一a(x1,y1),b(x2,y2),其中(a0).向量a与向量b共线，一个实数，使得ba。

如果用坐标表示,可写为(x2,y2)(x1,y1)

x2x1,即消去λ后得x1y2x2y10

y2y1.这就是说,当且仅当x1y2x2y10时向量a(a0)与向量b为共线向量. 又我们知道x1y2x2y10与x1y2x2y1是等价的。

讨论结果:

x1y2x2y10时向量a(a0)与向量b为共线向量. 教师应向学生特别提醒感悟: 向量共线的两种等价形式: 向量a(a0)与向量b为共线向量，其中a(x1,y1),b(x2,y2), 有唯一实数，使ba x1y2x2y10.[设计意图]总结知识点，加深理解，突破重难点。通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到向量的坐标运算与坐标表示两个共线向量的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。

（四）新知巩固

（应用探究结论，解决问题，训练思维）

例1

已知a(2,1),b(3,4),求ab,ab,3a4b的坐标. 解:ab=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); ab=(2,1)-(-3,4)=(5,-3); 3a4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).

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【设计意图】本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量和、差及数乘的坐标运算得出的结论，可由学生自己完成. 变式训练

1.已知e1(1,3),e2(1,1),e3(x,1)且e32e1e2，则x的值为

【设计意图】此题是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式，教学过程中要让学生感受到坐标运算的简洁，体会形式化运算的有优点. 例2已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标. 活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标. 解:方法一:设顶点D的坐标为(x,y). ∵AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC=(3-x,4-y).由AB=DC, 得(1,2)=(3-x,4-y).∴x2,13x,∴∴顶点D的坐标为(2,2). 24x.y2.方法二:由向量加法的平行四边形法则,可知

BDBAADBABC=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD=OB+BD=(-1,3)+(3,-1)=(2,2), ∴顶点D的坐标为(2,2).

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【设计意图】本题目的是让学生熟悉平面向量的坐标运算，通过数形结合解决问题。

变式训练

2.已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 解:当平行四边形为ABCD时,仿例二得:D1=(2,2);

当平行四边形为ACDB时,仿例二得:D2=(4,6); 当平行四边形为DACB时,仿上得:D3=(-6,0). 【设计意图】本题进一步体现研究平面向量的核心思想---数形结合的思想，同时渗透分类讨论的思想，培养学生分析问题，解决问题的能力。

例3已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.

变式训练

3.已知a(1,2),b(x,1)，若a2b与2ab平行，则x的值为

[设计意图]引导学生利用平面向量共线的充要条件完成了例3的解答后，通过变式训练使知识的系统化。完善了认知结构；引导学生从不同的问题中领悟新旧知识的本质属性，体现了问题变换的思想。

例4已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关

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系. 活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式. 解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点,观察图形,我们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明. ∵AB=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC=(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 又2×6-3×4=0,∴AB∥AC,且直线AB、直线AC有公共点A, ∴A、B、C三点共线. 点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的. 变式训练：

4.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为_________. [设计意图]:引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来做.引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系. （五）课堂小结

1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.

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ab(x1x2,y1y2)

ab(x1x2,y1y2)

a(x1,y1)

向量共线的等价条件有两种形式: 有唯一实数，使ba向量a(a0)与向量b为共线向量 x1y2x2y10.【设计意图】小节是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，是检查学生的收获情况，是更进一步培养学生的归纳总结能力。

（六）课堂练习及课后作业

1.若a(x3,x23x4)与AB相等，已知A(1,2),B(3,2)则x的值为 2.已知A(2,5)和向量a(1,1)，若AB2a，求B点的坐标。

3.已知向量a(1,3),b(2,1)若a2b与3ab平行，试求的值。

4.已知平面向量a么（ ）

A.k=1且

c与d同向 B.k=1且

c与d反向 C.k=-1且

c与d同向 D.k=-1且

c与d反向 5.若OA(k,6),OB(4,5),OC(1k,10)，且A,B,C三点共线，求k的值

6.已知向量a，b的坐标，求ab，ab的坐标。

(1) a(-2

,

4)

，b(5

,

2

)

(1,0)

，b(0,1)

，ckab，dab且c//d，那(2) a(2

,

3)

，b(-2

,

-3)

7.已知AB(1,2),点B(3,5),求点A的坐标。

8.若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线且方向相同，则x为________.

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9.设向量a(1,2),b(2,3)，若向量ab与向量c(4,7)共线，则= 10. 设A(k,12)，B(4,5)，C(10，k)，求当k为何值时，A、B、C三点共线．

【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.

（七）教学反思

本节课的教学效果从整体上看是非常顺利的，学生的自主探究和思维活动都一步步得到实施，并且真正做到了让每一位学生都参与到课堂教学活动中，体现了以人为本。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究，手动实践，合作交流，阅读自学等学习方式。

本节课设计时较大的困难是共线向量坐标表示充要条件的教学，如果让学生死记硬背，学生只能表面接受，但不能真正理解。处理时要让学生自主探究，这样体现了利用旧知识解决新问题的研究数学的方法，符合学生的认知规律，学生易于理解接受。不仅给学生提供了更多自主探究的空间，更体现了学生的主体地位。学案使用也达到了预期的效果，通过例题及变式训练的解决说明学生对平面向量坐标运算及共线向量的坐标表示理解比较深入，透彻。

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但也有遗憾，在处理例2时，还有一种方法就是利用向量的加法求解，可能有的同学想到，但没有留给学生去思考，有点赶时间。

在课堂教学过程中，不仅让学生学会知识，而且让学生掌握研究问题的思想和方法，从而培养学生科学的分析问题、解决问题的能力。

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