3.1.2 概率的意义教学实录

高中数学教案

第三章

三角函数（第24课时）

课

题：4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（三）

教学目的：

1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；

2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；

3.掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法. 教学重点：正、余弦函数的性质

教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx1-6-5-4-3-2--1y023456x

fx = cosx 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0)

(3,1)

(,0)

(,-1)

(2,0) 22余弦函数y=cosx

x[0,2]的五个点关键是

(0,1)

(3,0)

(,-1)

(,0)

(2,1) 22

3．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R

4．值域

正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx,x∈R

第

1页（共6页）

高中数学教案

第三章

三角函数（第24课时）

＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. 2②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 2①当且仅当x＝而余弦函数y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 5．周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）

3T往往是多值的（如y=sinx

2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.

6．奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称

7．单调性

＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，223其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是22正弦函数在每一个闭区间［－减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 二、讲解范例：

例1

求下列函数的周期：

(1)y＝3cosx，x∈R；

(2)y＝sin2x，x∈R；

(3)y＝2sin(1x－)，x∈R. 26

第

2页（共6页）

高中数学教案

第三章

三角函数（第24课时）

解：(1)∵y＝cosx的周期是2π

∴只有x增到x＋2π时，函数值才重复出现. ∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π. (2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝sinZ，Z∈R的周期是2π. 即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．

只有当x至少增加到x＋π，函数值才能重复出现. ∴y＝sin2x的周期是π. 1x－，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且函数y＝2sinZ，Z2611∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝ (x＋4π)－，所以2266(3)令Z＝只有自变量x至少要增加到x＋4π，函数值才能重复取得，即T＝4π是能使等式2sin［11 (x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正数. 22661从而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π. 26从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关. 一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝2. 根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期，如对于上述例子：

(1)T＝2π，(2)T＝21＝π，(3)T＝2π÷＝4π

22例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0. )－sin(－)；

18102317(2)cos(－)－cos(－)．

54解：(1)∵－＜－＜－＜．

101822且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数. 22∴sin(－)＜sin(－) 1018即sin(－)－sin(－)＞0 1810(1)sin(－

第

3页（共6页）

高中数学教案

第三章

三角函数（第24课时）

23233)＝cos＝cos

5551717cos(－)＝cos＝cos

4443∵0＜＜＜π

54(2)cos(－且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数

3＜cos

543即cos－cos＜0 542317∴cos(－)－cos(－)＜0 543cosx1例3

求函数y＝的值域. cosx2∴cos解：由已知：cosx＝13y＋2y－8≤0 22y12y12y12｜｜＝｜cosx｜≤1()≤3y3y3y∴－2≤y≤∴ymax＝4

34，ymin＝－2 3例4.f(x)＝sinx图象的对称轴是 . 解：由图象可知：

对称轴方程是：x＝kπ＋(k∈Z) 2例5.(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数? 4(2)函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数? 32kπ－解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：

＜x＜2kπ＋ (k∈Z) 22∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋

4242即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)为所求. 34

第

4页（共6页）

高中数学教案

第三章

三角函数（第24课时）

－2x)＝－3sin(2x－) 33由2kπ－≤2x－≤2kπ＋

2325得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求. 1212或：令u＝－2x，则u是x的减函数

3又∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，

22∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减. 322设2kπ－≤－2x≤2kπ＋

2325解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z) 12125∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减. 12123(2)∵y＝3sin(三、课堂练习：

1.函数y＝cos2（x－12）＋sin2（x＋12）－1是(

) A.奇函数而不是偶函数

B.偶函数而不是奇函数

C.奇函数且是偶函数

D.非奇非偶函数

2.函数y＝sin（2x＋A.x＝－5）图象的一条对称轴方程是(

) 22 B.x＝－4 C.x＝8 D.x＝5

43.设条件甲为“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数”，条件乙为“φ＝3”，则甲2是乙的(

) A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为

．

5.函数y＝sin2xtanx的值域为

. 6.函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为(

) 32

4227.求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期. A.0

B.

－1

C.π

D.

第

5页（共6页）

高中数学教案

第三章

三角函数（第24课时）

8.求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值. 9.已知f（x）＝1sinxcosx，问x在［0，π］上取什么值时，f（x）1sinxcosx取到最大值和最小值.

参考答案：



5.［0，2)

6.C

7.

2218.Ｔ＝

函数最大值为1

函数最小值为. 4219.x＝时，f(x)取到最小值；

343x＝时，f(x)取到最大值3.

41.A

2.A

3.B

4.

四、小结 在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误. 五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、课后记：

第

6页（共6页）