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平面向量章末复习

学习目标

1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用．

1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 向量运算

法则(或几何意义)

坐标运算

加法

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)

向量的线性运算

减法

(1)|λa|＝|λ||a|；

数乘

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

向量的数量积运算

2．两个定理

(1)平面向量基本定理

①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，

数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积

a·b＝x1x2＋y1y2

λa＝(λx1，λy1) a－b＝(x1－x2，y1－y2) 1

(2)向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 3．向量的平行与垂直

a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

a∥b

a⊥b

1．平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(

×

) 提示

平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底．

→→2．若向量AB和向量CD共线，则A，B，C，D四点在同一直线上．(

×

) 提示

也可能AB∥CD. 3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(

×

) 4．若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(

×

) 提示

当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π.

有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0) a·b＝0

x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0

类型一

向量的线性运算

→→→→例1

若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为(

)

16A.

58C.

5考点

平面向量基本定理的应用

题点

利用平面向量基本定理求参数

答案

C →→→→解析

因为CD＝4DB＝rAB＋sAC，

12B.

54D.

52

→4→4→→→→所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，

55441248所以r＝，s＝－，所以3r＋s＝－＝. 55555反思与感悟

向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．

→→→跟踪训练1

如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ等于(

)

4A.

315C.

8考点

平面向量基本定理的应用

题点

利用平面向量基本定理求参数

答案

B →→→解析

因为AC＝λAM＋μBD

→→→→＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD) →1→→→AB＋AD＋μ(－AB＋AD) ＝λ21→→λ＋μAD，

＝(λ－μ)AB＋2λ－μ＝1，→→→且AC＝AB＋AD，所以12λ＋μ＝1，5所以λ＋μ＝，故选B. 3

类型二

向量的数量积运算

例2

已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．

(1)用k表示数量积a·b；

(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．

考点

平面向量数量积的运算性质与法则

3

5B.

3D．2

得1μ＝3，4λ＝，3

题点

求向量的数量积的最值

解

(1)由|ka＋b|＝3|a－kb|，

得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，

∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝cos2α＋sin2α＝1，|b|＝cos2β＋sin2β＝1，

∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，

2k2＋2k2＋1∴a·b＝＝(k>0)．

8k4kk2＋111(2)a·b＝＝k＋k. 4k411k＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，

由对勾函数的单调性可知，f(k)＝4k11∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，

42此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°. 反思与感悟

数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，

a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题

2①设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y1. a·b1＝，

|a||b|2②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π) x1x2＋y1y2a·bcos θ＝＝222

. |a||b|x1＋y1

x22＋y2跟踪训练2

已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连→→接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为(

) 51111A．－

B.

C.

D.

8848考点

平面向量数量积的概念与几何意义

题点

平面向量数量积的概念与几何意义

答案

B →→→→→→1→3→1→3→解析

∵BC＝AC－AB，AF＝AD＋DF＝AB＋DE＝AB＋AC，

22244

→→→→1→3→∴BC·AF＝(AC－AB)·2AB＋4AC

11133113131＝×1×1×－＋－×1×1×＝＋－－＝. 22244244288类型三

向量坐标法在平面几何中的应用

→→例3

在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM·CN的取值范围为________．

考点

平面向量数量积的坐标表示与应用

题点

坐标形式下的数量积运算

3答案

2，2

解析

以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线AB的方程为x＋y－2＝0.设M(t，2－t)，因为1→→t－MN＝2，所以N(t＋1，1－t)(0≤t≤1)，所以CM·CN＝t(t＋1)＋(2－t)(1－t)＝2t2－2t＋2＝2223＋. 2

3→→因为0≤t≤1，所以CM·CN的取值范围为2，2. 反思与感悟

把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．

跟踪训练3

如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120°，点C在AB上，且∠COB＝30°，→→→若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ等于(

)

A.3

43C.

3考点

平面向量基本定理的应用

题点

利用平面向量基本定理求参数

答案

A 5

B.3

3D．23

解析

由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

则O(0,0)，A(0，3)，C(3，0)，

B(3×cos 30°，－3×sin 30°)，

→→→因为OC＝λOA＋μOB，

31所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ3×，－3×，

223＝μ×3×23，即10＝3λ－3×μ，2所以λ＋μ＝3.

μ＝233，则3λ＝3，

→→1．设D为△ABC所在平面内一点，BD＝3CD，则(

) 1→4→→A.AD＝－AB＋AC

33→4→1→B.AD＝AB－AC

33→2→1→C.AD＝AB－AC

321→3→→D.AD＝－AB＋AC

22考点

向量加减法的综合运算及应用

题点

用已知向量表示未知向量

答案

D →→→→→→解析

∵BD＝3CD，∴AD－AB＝3(AD－AC)，

→→→∴2AD＝3AC－AB，

→3→1→∴AD＝AC－AB. 226

12．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于(

) 2A．30°

C．60°

考点

平面向量数量积的应用

题点

向量模与夹角的综合应用

答案

C 解析

设a与b的夹角为θ，

1因为a·b＝|a||b|·cos θ＝，且|a|＝1，

21所以|b|cos θ＝.①

2又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，

即1＋|b|2－1＝1，

故|b|＝1.②

1由①②得cos θ＝. 2又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°，故选C. 3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(

) 11A.

B．2

C．－

D．－2 22考点

向量平行与垂直的坐标表示的应用

题点

已知向量平行求参数

答案

D 解析

ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)．

∵ma＋4b与a－2b共线，

∴(2m－4)×(－1)－(3m＋8)×4＝0，解得m＝－2. →→→→→→4．若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________. 考点

平面向量数量积的应用

题点

利用数量积求向量的模

答案

25 →→解析

由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA|＝|OB|＝10，→由勾股定理得|AB|＝20＝25. 135．平面向量a＝(3，－1)，b＝，，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，22y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)．

7

B．45°

D．120°

考点

平面向量数量积的坐标表示与应用

题点

坐标形式下的数量积运算

13解

由a＝(3，－1)，b＝，，

22得a·b＝0，|a|＝2，|b|＝1，

由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，

－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，

11－4k＋t3－3t＝0，k＝(t3－3t)，f(t)＝(t3－3t)，

441所以函数关系式为k＝f(t)＝(t3－3t)．

4

1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．

2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.

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