数轴表示根号13教学设计(第一课时)

第十七章

勾股定理

17.1

勾股定理

第

3 课时

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教材分析

运用勾股定理证明了直角三角形全等的HL判定定理，从中进一步确认，一个直角三角形中，只要两边的大小确定，则这个三角形就形状大小就确定了．运用勾股定理，通过作直角三角形，画出了长度为无理数的线段，并学习在数轴上画出无理数表示的点的方法．

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教学目标

1.

能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理；

2.

能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.

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教学重难点

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用勾股定理作出长度为无理数的线段

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课前准备

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课件，多媒体资源.

一、解决问题

利用勾股定理证明

“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等”. 问题1：在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

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教学过程

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，AB=AB,AC=AC. 求证：△ABC≌△ABC.

证明：在Rt△ABC和Rt△ABC中,∠C=∠C=90°,根据勾股定理，得

BC=AB2-AC2，BCAB2AC2. 又∵AB=AB,AC=AC，

∴BC=BC. ∴△ABC≌△ABC（SSS）. 【反思】勾股定理是直角三角形三边的一种特殊的数量关系，利用这一关系确定任意两边，第三边的长度也随之确定. 二、利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段. 问题2：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？

【分析】我们知道长为2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边，类似的长为13的线段能够也构造一个直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？

解：以直角边长为2,3的直角三角形的斜边长为13，由此在数轴上找出表示3的点A，过A点作直线垂直于OA，并在垂线上截取AB=2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交在原点右侧点C处，点C即为表示13的点.如下图所示：

注：此图片是动画缩略图，以动画形式对作图过程进行演示.如需使用此资源，请插入动画“【情景演示】勾股定理的应用-在数轴上画出表示根号13的点”．

二、拓展应用

（1）类似地，利用勾股定理可以作出长为1，2，3，4，5···的点，如下图：

注：此图片是动画缩略图，以动画形式对作图过程进行演示.如需使用此资源，请插入动画“【数学活动】勾股定理的应用-在数轴上画出表示根号n（n是正整数）的点”．

（2）我们也可以用下图中的方式构造线段2，3，4，5···，如下图：

注：此图片是动画缩略图，以动画形式对作图过程进行演示.如需使用此资源，请插入动画“【数学活动】勾股定理的应用-数学海螺”．

三、巩固练习

练习1：在数轴上画出表示5的点. B–101A2C34

【点拨】作一条长度等于无理数的线段的方法不唯一，如5，除了上题中构造直角边为1,2的直角三角形，也可以借助直角边为2，3的直角三角形得到，我们一般尽量利用直角边为整数的直角三角形作出.

练习2：在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长皆为1．请在网格上画出长度分别为2，5，17的线段．

解：如图所示，图中AB，CD，EF即为所求，AB=1212=2，CD=2212=5，EF=4212=17.

四、综合运用

利用勾股定理解决较复杂的几何问题

问题3：如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边

上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. ADEBFC

解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm,∠B=∠C=90°. ∵△ADE与△AFE关于AE对称，∴AF=AD=10cm，DE=FE. 在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF2AB2=6cm，∴FC=BC-BF=4cm. 设CE=xcm，则EF=ED=CD-CE=(8-x)cm, 在Rt△ECF中，由勾股定理得EC²+FC²=EF²

∴x²+4²=(8-x)²，解得，x=3.即EC的长为3cm.

练习3：如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积．

解：由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称，

故AF=AD，EF=DE=DC-CE=8-3=5．

所以CF=4，

设BF=xcm，则AF=AD=BC=x+4．

在Rt△ABF中，由勾股定理，得8²+x²=(x+4)². 解得x=6，故BC=10．

所以阴影部分的面积为：10×8-2S△ADE=80-50=30(cm²). 问题4：

（1）如图，平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离？

（2）一般地，设平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如图，如何计算A，B两点之间的距离?

注：此图片是动画缩略图，探究勾股定理在平面直角坐标系中的运用.如需使用此资源，请插入动画“【知识探究】勾股定理的应用-两点之间的距离公式”．

五、课堂小结

1.

在数轴上表示无理数c的关键是：利用勾股定理联想到ca2b2，即以a，b为直角边长构造直角三角形，则斜边长为c.以原点为圆心，以c为半径作弧即可在数轴上表示无理数c. 2.

在解决有关直角三角形的问题是，常常利用勾股定理由已知线段求未知线段，或利用勾股定理列出方程解决问题.