6.圆的面积公式及简单应用优质课教案

圆的面积

【教学内容】苏教版五年级下册第96~98页例7、例8、例9,“练一练”,练习十五第1~2题。

【教学目标】

1. 使学生探索、掌握圆的面积计算公式、能正确应用公式计算圆的面积,并能运用公式解决相关的简单实际问题。

2.使学生经历观察比较、实验操作、讨论归纳等数学活动过程,培养运用已有知识解决新问题的能力,积累数学活动经验;进一步体会转化的思想方法,渗透极限思想,增强空间观念,发展数学思维。

3.使学生能积极主动地参与各种探索和操作活动,培养合作探究精神和创新意识,提高数学交流能力,体验数学探究的乐趣。

【教学重点】理解、掌握圆面积的计算公式。

【教学难点】圆面积计算公式的推导过程。

【教学准备】教师准备2个圆纸片和16等份学具;学生准备计算器和剪刀。

课前谈话

师:同学们,还没到上课时间,我们先聊会天好吗?

师:圆,在生活中随处可见,前些日子我们也已经认识了圆,对于圆,你已经知道了哪些数学知识呢?

生:(略)

师:看来同学们学习很认真,基础很扎实!接下来,我们就开始上课,好吗?

【教学过程】

一、谈话导入,揭示课题

师:同学们,在生活中,有没有见到过这样的场景?(出示情境图)

师:闭上眼睛,想象一下,这自动喷水器旋转一周后留在地面的会是一个什么图形?(圆)

睁开眼睛看一看,和你想得一样吗?(一样)

师:如果要求这喷水器旋转一周喷灌草坪的面积,你知道是求什么吗?(板书:圆的面积)

师:这个圆形草坪的大小就是这个圆的面积。

揭题:今天我们就一起来研究圆的面积。

二、合理猜想,初步探索

1、仔细观察,大胆猜想。

1.提问:如果想扩大喷灌的范围,你能想个办法吗?(射程变长一些)师:发生了什么变化?(圆面积变大)

追问:那你觉得圆面积的大小跟什么有关?(半径)

说说你的理由(半径短,面积小;半径长,面积就大)

师:刚才同学们都认为圆的面积与它的半径(或直径)有关,到底有什么样的关系呢?那我们就以半径为边长,请出平面图形中最基本的正方形来度量。(课件出示例7图)

师:会求正方形的面积吗?那正方形的面积可以怎么表示?

生:r×r也就是r2。

师:r 是圆的半径呀!为什么这个小正方形的面积也可以用半径的平方来表示呢?

生:在这个图形中,小正方形的边长就是圆的半径,小正方形的面积也就是这个圆半径的平方。

师:看图猜一猜圆的面积大约是正方形面积的几倍?

生: 圆面积可能是正方形面积4倍少一些。

追问:你是怎样想的?

师:(课件:正方形内接圆)从这幅图中我们可以看出,圆的面积比正方形面积的4倍少。(板书<4r2)

师:看来圆的面积真的与它的半径有关,而且比它半径平方的4倍少一些。这只是我们的一个粗略估计(板书:估计),能不能更精确地知道圆的面积是多少呢?

(2)三数方格,初步探索。

师:研究平面图形最基本方法,数方格(板书),还记得吗?我们就先用这个方法来做一个初步的研究。(出示书例7图)

师:看了这个图,说说你准备怎么数呢?

预设1:先数整格,再数不满整格的。

预设2:不满整格的,可以都按半格计算

1

预设3:可以先数圆的方格数,然后再乘4就得到圆的面积了。(真是一个4

金点子!)

师:大家的想法都很好。请看这里,像这样不满一格但又非常接近整格,为使得到的结果更加准确些,可以把它们就看作整格。

师:明白了吗?还有什么注意点?(标一下数就不容易忘了)

师:那我们就来数一数。先数?(课件:标1—10)还有几个半格?①-⑤

那这四分之一圆的面积大约是多少格?也就是12.5平方厘米!(课件:1/4圆的面积≈12.5平方厘米)同学们,能算出整个圆的面积吗?一起说!(课件:12.5×4=50平方厘米)

提问:能看出圆的面积与它半径的关系吗?还是请这个正方形来帮忙。

(出示表格第一行)正方形的面积是多少?(课件:正方形的面积=16平方厘米)怎么算出来的?(在表格中出示圆的半径4)圆的面积呢?怎么算出来的?

接下来你能算出圆的面积大约是正方形面积的多少倍吗?怎么算?

拿出计算器算一算,结果保留一位小数。大约是?(课件:出示算式)

师:刚才我们用数方格的方法发现这个圆的面积大约是正方形面积也就是它半径平方的3.1倍,那是不是所有的圆都这样呢?口说无凭,我们再举两个例子来看看。

先把我们刚才的研究成果填写在下表格第一行。(课件:出示表格)接下来,

圆的面积时有所不同,但是没有关系,这两组同学依然算出来圆的面积大约是小

正方形面积也就是它半径平方的3.1倍,比刚才我们估计的4倍少一些更精确了,真是了不起的发现!

设疑:3.1这个数字怎么有种似曾相识的感觉?不会是π吧?(板书:π?)三、操作想象,探究方法

1、第一次探究,明确思路,体会转化。

师:是不是圆的面积就是它半径平方的π倍呢?我们来进一步研究。那怎么去研究呢?

师:大家好像遇到了点困难。请你换种角度想一下,以前我们研究一个新图形的面积时,用过哪些好的方法?

预设1:可以把新图形转化成已学过的图形,比如平行四边形可以通过剪拼转化成长方形求出面积。

预设2:用两个完全相同的三角形,旋转、平移转化成了平行四边形。

预设3:用两个完全相同的梯形,旋转、平移就将两个梯形转化成了平行四边形。

师:有没有发现这些方法都有一个共同点?

预设:都是将没有学过的图形转化成已经学过的图形。(板书:转化)师:那我们今天研究的圆是否也能转化成已经学过的图形呢?

师:如果我们也像推导三角形、梯形面积公式那样用两个完全相同的圆拼一拼,你认为可能转化成我们学过的图形吗?(让学生体会到拼无法解决问题,必须重找新方法。)

师:怎么办?

剪?怎么剪?沿着什么剪?(沿一种特殊的线——直径去剪)

师:沿直径剪开就将圆平均分成两份。那现在你能把它拼成学过的图形吗?

预设:还不能。

师:那怎么办?

预设:继续平均分,继续剪。

师:那如果老师再继续剪下去,也就将圆平均分成了4份,现在我们来拼一拼。

师:这个图形好像有点意思。

预设:有点像平行四边形。

师:有的同学说它像平行四边形,像吗?就是平行四边形?

(不是)

师:有点轮廓了,这思路真不错。怎样才能更接近平行四边形呢?

预设1:再剪。师:怎么剪?

预设2:将圆平均分成8份。

(出示将圆平均分成8份拼成的图形)

师:和刚才那个图形相比有什么变化呢?(更接近平行四边形。)

2、第二次探究,明确方法,体验极限。

师:刚才我们将圆分别剪成4等份、8等份,我们是怎么剪,怎么拼的?(沿

直径、半径剪,平均分后交叉拼起来的)

追问:拼成新的图形是想干什么呀?

预设:想把圆形转化成平行四边形。

师:那还能更接近吗?

预设:可以继续分,剪成16等份。

师:大家想不想照着这样的思路自己动手试一试?拿出你们的学具,小组合作动手拼一拼。

学生小组合作动手拼图,选小组上台展示交流。

师:和前两次拼成的图形比,又有什么变化?从哪儿可以看出更接近平行四边形了?

预设:平行四边形的底边更直了。

师:那我们是用什么方法使得这条边越来越直的?

预设:把圆平均分的份数越来越多。

师:是的!随着分的份数越来越多,曲线就会越来越直, 这也蕴含了我们数学上化曲为直的思想。如果还要更接近平行四边形,该把圆怎么办呢?

生:可以继续分下去,分成32份。

电脑演示将一个圆平均分成32份拼一拼,有什么变化?

预设1:就是平行四边形。

预设2:又有点像长方形。

师:闭上眼睛,想象一下,如果一个圆平均分成64份、128份……再来拼一拼,有什么感觉?

预设1:更接近长方形。

预设2:越来越接近一个长方形了。

师:同学们,我们把圆平均分成4份,8份,16份,32份,继续分下去,再到无穷等份,圆就可以转化成——

生:长方形。(无限逼近一个长方形)

师:我们把圆转化成了一个近似长方形,形状变了,什么没变呢?

生:面积没变。

师:那只要求出这个长方形的面积,就可以求出?

生:圆的面积。

3、第三次探究,深化思维,推导公式。

师:要求长方形的面积,就要知道它的长和宽。那么转化后长方形的长和宽与圆的什么有关呢?在小组里说一说你的发现

全班交流,用课件演示学生发现的这二者存在的相等的地方。

生1:长方形的宽等于圆的半径。(课件)

生2:长等于圆周长的一半。(课件)(教师同时用学具配合演示)

师:真是一群善于观察的好孩子!谁能把这些联系完整的说一遍。各自在小组里完整地说一样说。

师:现在,老师想给大家提个更高的要求:能不能在观察、操作的基础上动脑筋推导出圆的面积计算公式呢?这可是一个很有挑战性的任务!大家有没有信心完成?完成学习单第2题。先作独立思考以后分小组讨论。

投影展示学生作品,全班交流点评。(课件:出示r、πr)

2.师:长方形的长和宽都有了,你能求出长方形的面积吗?

师:(课件:推导公式)我们以前计算长方形的面积是用长乘宽。现在长就是?宽就是?所以就用πr去乘r。这里长方形的面积也就是今天研究的?这说明圆的面积等于πr×r,就是πr2。同学们,回过头来看一看。真理终于浮出了水面。(板书:π)原来圆的面积就是他半径平方的π倍。如果我们用S表示圆的面积,(板书:公式)大声告诉我,S等于?这里的π是?r是?

师:能看着黑板说说圆的面积计算公式是怎样推导出来的? 先小组交流再集体交流。

四、运用公式,解决问题

1、教学例9

(1)谈话导入:知道了圆面积的计算方法,现在如果让你求“喷水器”旋转一周,喷过的草地面积,你最想知道圆的什么?告诉你最想知道的半径是5米。

(2)出示例9。

师:最远喷灌5米也就是这个圆的——半径。你会解决这个问题吗?下面请同学们在练习本上完成这个题目。(请一个学生在黑板上完成)

(3)集体评议

(4)思考:在进行圆面积的计算时要注意什么?(平方的计算和单位名称)介绍另一种写法:S=πr²=π×5²=25π

2、师:知道圆的半径可以求出圆的面积,那么,知道直径和周长能不能求出圆的面积呢?在今后的学习中,老师还会与同学们作进一步的研究。

五、全课总结、

师:今天这节课学习了什么内容?回想一下我们推导的过程,我们是怎样发现这种计算方法的?(学生作简单交流)

其实圆还可以转化成其他的图形,(课件出示)课下有兴趣的同学可以试一试!