二次根式应用优秀公开课教案

第21章《二次根式》（

第1课时）

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的概念，它的两个本质特征：（1）形如a；（2）被开方数a≥0．利用a≥0求二次根式中被开方数所含字母的取值范围．

2.内容解析

二次根式是在学习整式、分式和实数之后安排的内容．根据解答实际问题的需要，需要引入二次根式．本课时主要学习二次根式的概念，因此是一节概念课．二次根式的概念是本章一个核心概念，它是学习二次根式的性质和运算及一元二次方程的基础．概念“二次根式”的核心是被开方数是非负数，这是学习时应特别注意的．在以后学习二次根式的性质时尤其要注意每一个二次根式的被开方数的取值范围．要注意转化思想的渗透．

根据以上的分析，本节课的教学重点是二次根式的定义．

二、教材解析

本课时的知识结构：实际问题→二次根式模型→形成二次根式定义→求被开方数中字母的取值范围．

为了解决实际问题，引出二次根式，由于学生不知道这种式子，所以要学习它的定义．当学生掌握二次根式的定义后，用它的本质特征解决求字母的取值范围的问题，从而进一步巩固二次根式的定义．

本节课的重点是二次根式的定义，它在本节课中处于核心地位．在教学中要紧紧围绕概念的本质特征展开教学，让学生明确“形式上含二次根号”和“被开方数是非负数”两个条件缺一不可．在教学过程中学生解决实际问题可能出现计算错误问题，为了解决这些问题可以课前让学生复***方根、勾股定理等知识．

教材中的例题旨在巩固二次根式的被开方数必须为非负数这一本质特征，形如a类的式子有意义就是指它是一个二次根式，它从形式上符合，还需要满足第二个本质特征“被开方数是非负数”．解决本例主要讲问题转化成解不等式，在解不等式时要注意不等式的性质的正确运用．

三、目标和目标解析

1．目标

（1）经历二次根式的概念的形成过程，理解二次根式的定义，能用二次根式的定义识别二次根式；

（2）掌握求二次根式中字母的取值范围的方法，进一步理解二次根式中“被开方数的非负性”

．

2．目标解析

达到目标（1）的标志是：学生能建立二次根式模型解决实际问题，并能对一些二次根式观察、比较、概括、归纳形成二次根式的概念．在此基础上能在一些含有根号的式子中找准哪些是二次根式，并能从二次根式定义中的本质特征说明其它含根号的式子不是二次根式的原因．

达到目标（2）的标志是：学生能根据二次根式的本质特征列出不等式求出二次根式中被开方数中的字母的取值范围．进一步明确二次根式中被开方数必须是非负数这一必要条件．同时渗透转化的数学思想方法．

四、教学问题诊断分析

学生在学习二次根式时往往只会从形式上进行判别一个含根号的式子是否为二次根式，容易忽视被开方数是非负数这一必要条件．另外在解决实际问题时学生也有因为勾股定理、开方等知识掌握不熟练导致引入新知耽误时间，也可能有的学生对不等式相关的知识掌握不牢，造成会列不等式，而解错字母的取值范围．

因此本节课的难点是利用二次根式的定义求被开方数中字母的取值范围．

五、教学支持条件

为了扫清学生在学习中的障碍，课堂开始前引导学生复习一下实数、勾股定理的有关知识．为了便于学生观察、比较、概括和归纳形成二次根式的定义，我使用课件展示，从而让学生顺利发现二次根式的本质特征，从而突出本节的重点．

六、教学过程设计

1.复习回顾，奠定基础

问题1.（1）4的算术平方根是______，3的算术平方根是______,﹣4_______算术平方根.（填“有”或“没有”）

（2）直角边问3,4的直角三角形的斜边长是_______. (3)﹣x≥0的解集是____________. 师生活动：教师展示课件中的复习题，然后生答师评价，引导学生复习学习本节内容的基础知识. 设计意图：新知都是在旧知识的基础上生成的，为了扫清学生在学习中遇到的障碍，特设计此环节．

2.创设情境，引入新课

问题2.（1）如图1所示，一个正方形桌面的面积为2平方米，则正方形的边长是__________米；

（2）如图2塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米；

（3）面积为s的等腰直角三角形的直角边等于_________；

（4）如果一个圆的面积为10π，则它的半径为_________.

2 ?米

50米

图1

a米

图2 师生活动：学生解答后互相交流，看自己所做的和他人有何区别．教师引导学生得到正确答案（2，

2500a2

，2s

，10

）

设计意图：从实际问题中抽象出二次根式，让学生明确学习二次根式是因为解决实际问题的需要．同时也可以激发学生的兴趣，让学生在解决实际问题中直面二次根式，然后引出新课．

3.合作交流，探究新知

※探究点一：二次根式的定义

问题3.以上四个填空的结果有哪些共同特点？

师生活动：教师利用课件将四个式子放在一起，让学生观察思考：这些式子形式上都含有什么符号？（生会很容易发现都含有二次根号）被开方数可以为负数吗？（学生会发现这些式子的被开方数不能是负数）

教师追问：它们的被开方数可以为0吗？（学生会从0有算术平方根出发，指出被开方数可以为0．）它们的被开方数必须是什么数？（有的学生会说出正数和0，有的可以说成非负数．这两种说法都对，教师要予以肯定．）

设计意图：让生经历概念的本质特征的探究过程，为下一步归纳二次根式的定义奠定基础．

问题4：这些式子都是二次根式，你知道什么叫做二次根式？

师生活动：教师引导学生用语言叙述二次根式的定义，有的学生可能叙述不完整或不准确，可以让其他学生进行补充，直到将二次根式的定义准确地概括出来．

形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

设计意图：概念教学应注意概念的本质特征的发现过程，每一个核心概念都要经历观察、比较、概括、归纳等环节，这样重视概念的形成过程，体现了新课标所倡导的教学理念——重视知识的形成过程教学.在给概念下定义时一定要描述清概念的本质特征，突出概念的核心．

问题5：下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？

330、-4、a、x2、-x2-1

师生活动：学生先独立判断分析，然后教师引导学生交流展示．

设计意图：巩固二次根式的定义，及时训练所学的概念，强化概念的内涵：含有二次根号且被开方数为非负数．

※探究点二：求二次根式被开方数中字母的取值范围

问题6：例1：当x是怎样的实数时，式子x-2在实数范围内有意义？

师生活动：师问：式子x-2有意义是指有什么意义？

生答：有的学生可能说它表示x-2的算数平方根，有的学生可能说它是一个二次根式．

师追问：什么数才有算数平方根？或二次根式的被开方数必须满足什么条件？

生答：非负数有算术平方根或二次根式的被开方数必须是非负数．

师追问：那么你能列出求x的范围的式子吗？试一试，并求出x的范围．

生尝试解答后让个别学生在黑板上展示交流，教师适时指点，强调解题规范．

设计意图：通过例题的学习让生掌握确定含二次根号的式子有意义的条件，实质上是对二次根式的概念的深化和强调．同时让学生学会将新知转化为旧知，体会数学的转化思想方法．

问题7：（1）当x满足__________时，式子4x在实数范围内有意义．

（2）使式子x3有意义的x的取值范围是（ ）

x4

A、x>3

B、x≥3

C、 x>4 D 、x≥3且x≠4 （3）式子x2、x3有意义的条件分别是什么？

师生活动：教师利用课件呈现变式练习题，学生及时训练，教师引导学生交流，形成方法技能. 设计意图：第（1）题旨在让生列出的不等式在解答时不等号方向改变,学生容易出错；第（2）题旨在将二次根式与分式综合，整合两个不同的知识点，训练学生的综合能力；第（3）题不同于例题所列的不等式，需要用乘方的结果的规律来分析出x的取值范围. 4.总结梳理，内化新知

问题8：本节课你学到了哪些知识？和同学们交流分享.你还有什么疑问？让大家帮你解决！

师生活动：师用课件出示问题，并引导学生交流.然后教师板书此节课的知识框图：

应用

抽象

二次根式

求字母的

实际问题

概括

技能

a（a≥0）

取值范围

设计意图：通过此环节引导学生梳理本节课所学的新知，将所学知识纳入已有的知识体系，提高学生的归纳总结能力和语言表达能力. 5.分层作业，反馈新知

必做题：教材第5页小练习第1题和第3题；

选做题：教材第5页小练习第2题. 设计意图：正视学生之间存在个体差异，让人人学习必须的数学，同时让不同的人在数学上得到不同的发展.因此布置作业时分两个层次，以适合不同层次的学生的需要. 6.目标检测题设计

（1）下列各式一定是二次根式的是（ ）. A.

7 B. 32m C. a21 D. 设计意图：考查学生对二次根式的概念的掌握情况. （2）当a满足__________时，式子3-a在实数范围内有意义.

设计意图：考查学生是否熟练掌握“用列不等式的方法解决二次根式被开方数中的字母的取值范围”的基本技能. （3）已知y=x-11-x，求x、y的值.

设计意图：加强对二次根式“被开方数是非负数”这一必要条件的考查，强化二次根式的定义，提高学生的综合能力. a

b

（4）当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

①

a2； ②

1 ； ③

-a2. a 设计意图：强化对求二次根式中的字母范围的求解方法检测，综合了分式、二次根式等知识，力求提高学生的数学素养.