阅读与思考 向量及向量符号的由来优质课教案内容

§2.1

平面向量的实际背景及其基本概念

教学目的：1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法 3掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件 4.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 教学重点：运用共线向量和平面向量的基本定理，掌握平面向量的数量积及其几何意义，

教学难点：与三角函数、数列、不等式、解几等的结合

教学过程：

一、知识梳理

1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法

AB，a；坐标表示法，记作|AB|即向量的大小，axiyj(x,y)

向量的大小即向量的模（长度）记作｜a｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a0为单位向量｜a0｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab大小相等，方向相同x1x2

(x1,y1)(x2,y2)yy212向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC

（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2）

三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCD．

PQQRAR，但这时必须“首尾相连”3向量的减法



①

相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

记作a,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有：

（i）(a)=a；

(ii) a+(a)=(a)+a=0；

(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0

②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，

记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）

4实数与向量的积：

①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反；当0时，a0，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5两个向量共线定理：

向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a

6平面向量的基本定理：

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一

平面内所有向量的一组基底

7

注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

8两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·︱b︱cos

b=︱a︱·叫做a与b的数量积（或内积）

规定0a0

9向量的投影：︱b︱cos=ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对|a|值称为射影

10数量积的几何意义：

a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积

11向量的模与平方的关系：aaa2|a|2

12乘法公式成立： abababaaba2abba222222b；

2abb

22213平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：abba

③分配律成立：abcacbccab

特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；

（2）消去律不成立abac不能得到bc

（3）ab=0不能得到a=0或b=0

②对实数的结合律成立：abababR

14两个向量的数量积的坐标运算：

b=x1x2y1y2

已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·15向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

（001800）叫做向量a与b的夹角

cos=cosa,babab=x1x2y1y2x1y1x2y22222

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

16垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b

17两个非零向量垂直的充要条件：

a⊥ba·b＝Oxxyy0平面向量数量积的性质

1212二、典型例题

例1：给出下列命题：

①

若|a|＝|b|，则a=b；

②

若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③

若a=b，b=c，则a=c，

④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；

⑤

若a//b，b//c，则a//c，

其中正确的序号是

解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②

正确．∵

ABDC，∴

|AB||DC|且AB//DC，

又

A，B，C，D是不共线的四点，∴

四边形

ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB//DC且|AB||DC|，

因此，ABDC．

③

正确．∵

a=b，∴

a，b的长度相等且方向相同；

又b＝c，∴

b，c的长度相等且方向相同，

∴

a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．

④

不正确．当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|

且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件．

⑤

不正确．考虑b=0这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是②③．

点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．

例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD，

FD表示出来．

解：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．

解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

AF所以BABCBAAOBO，

BaObCDE所以BO=a＋b，所以OE= BO=a+b，

由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，

所以BF=BO＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，

同样在平行四边形

BCDO中，BD＝BCCD＝BCBO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝BCBA＝b－a

点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用

a，b表示，且可用规定其中任两个向量为a，b，另外任取两点为起点和终点，也可用a，b表示．

例3：

设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

①ABBCCD，②DBACBD

③OAOCOBCO

解：①原式= (ABBC)CDACCDAD

②原式= (DBBD)AC0ACAC

③原式= (OBOA)(OCCO)AB(OCCO)AB0AB

例4：

设x为未知向量，a、b为已知向量，解方程2x(5a+3x4b)+1

2

a3b=0

解：原方程可化为：(2x

 3x) + (5a+∴x

=9a+ b

21a) + (4b3b) = 0

2例5：设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb

(kR)，若c∥d，试求k

解：∵c∥d

∴由向量共线的充要条件得：c

=λd

(λR) 即

ka+b=λ(a+kb)

∴(kλ) a

+ (1λk) b

= 0

又∵a、b不共线

k0∴由平面向量的基本定理

k1

1k0例6：

如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=AD=b，试用a、b分别表示AM、MH、AF

1BC，设AB=a，41MCABCD中，BF=MC=BC,

BF211a∴FM=BC=AD=AH

∴FM

AH

Hb22A∴四边形AHMF也是平行四边形，∴AF=HM

33311又

BMBCADa

,

而FBBCb

4444431FB= BAb



a

∴AMABBM= a+b

,

MHFA4411AFFA(b

a) = b+ a

44解：∵

D例7：

求证：起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上．

证明：设起点为O，OA＝a，OB=b，OC＝3a－2b，

则ACOCOA=2(a－b)，ABOBOA=b－a，AC2AB，

∵

AC,AB共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，

即向量a，b，3a－2b的终点在同一直线上．

点评：⑴利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：

①

证明向量平行；②

说明两个向量有公共点；

⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：

①证明向量平行；②说明两向量无公共点．

例8：

在△ABC中，AB=(2, 3)，AC=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值

解：当A = 90时，ABAC= 0，∴2×1 +3×k = 0

∴k =3

2当B = 90时，ABBC= 0，BC=ACAB= (12, k3) = (1, k3) ∴2×(1) +3×(k3) = 0

∴k =11

3当C= 90时，ACBC= 0，∴1 + k(k3) = 0

∴k =313

2例9： 已知a＝（3，4），（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜b＝=1

分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想

解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y) 又（xa+yb）⊥a(xa+yb)·a＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 即25x+24y＝０ ①

２又｜xa+yb｜=1｜xa+yb｜＝１

２２（３x+4y）＋（４x+3y）＝１

整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②

由①②有24xy+25y２＝１ ③

将①变形代入③可得：y=±5

72424xx3535和再代回①得：

55yy77归纳小结：

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点

§6.2 平面向量的坐标运算

教学目的：1.了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；

2掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 教学重点：平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念

教学难点：了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件

学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题

教学过程：

一、知识梳理

1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

2平面向量的坐标运算：

(1)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2

(2)

若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1

(3)

若a=(x,y)，则a=(x, y) (4)

若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10

(5)

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2

若ab，则x1x2y1y20

3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

运几何方法

坐标方法

运算性质

算类型

向

1平行四边形法则

ab(x1x2,y1y2)

abba

量

2三角形法则

的

(ab)ca(bc)

加

法

向

三角形法则

量

的

减

法

向

量

的

乘

法

ABBCAC

ab(x1x2,y1y2)

aba(b)

ABBA

OBOAAB

a是一个向量, 满足: >0时,a与a同向; <0时,a与a异向; =0时, a=0

a(x,y)

(a)()a

()aaa

(ab)ab

a∥bab

向

ab是一个数

量

的

a0或b0时, 数

量

ab=0 积

a0且b0时, abx1x2y1y2

abba

(a)ba(b)(ab)

(ab)cacbc

a2|a|2,|a|x2y2

ab|a||b|cosa,b

二、典型例题

|ab||a||b|

例1:已知向量a(1,2),b(x,1),ua2b，v2ab，且u//v，求实数x的值

解：因为a(1,2),b(x,1),ua2b，v2ab

所以u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)

又因为u//v

所以3(2x1)4(2x)0，即10x5

1解得x

2例2:平面内给定三个向量a3,2,b1,2,c4,1，回答下列问题：

（1）求满足ambnc的实数m,n；

（2）若akc//2ba，求实数k；

（3）若d满足dc//ab，且dc5，求d



解：（1）由题意得3,2m1,2n4,1

5mm4n39

所以，得82mn2n9（2）akc34k,2k,2ba5,2

234k52k0,k16

13（3）dcx4,y1,ab2,4

4x42y10由题意得

22x4y15x3x5得或

y1y3例3:已知a(1,0),b(2,1).

（1）求|a3b|；（2）当k为何实数时，kab与a3b平行，

平行时它们是同向还是反向？

解：（1）因为a(1,0),b(2,1).

所以a3b(7,3)

则|a3b|723258

（2）kab(k2,1)，a3b(7,3)

akb与a3b平行

因为1所以3(k2)70即得k

37ab(k2,1)(,1)，a3b(7,3)

此时k3则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反

例4:已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标

解：设P(x,y)，则OP(x,y),AP(x4,y)

因为P是AC与OB的交点

所以P在直线AC上，也在直线OB上

即得OP//OB,AP//AC

由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC(2,6),OB(4,4)

6(x4)2y0得方程组

4x4y0

x3解之得

y3故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)

例5: 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OPOAtAB,试问: （1）当t为何值时,P在x轴上? P在y轴上? P在第三象限? （2）四边形OABP是否能成为平行四边形?若能,则求出t的值若不能,说明理由

解：（1）OPOAtAB(13t,23t)，则P(13t,23t)

2若P在x轴上，则23t0，所以t；

31若P在y轴上，则13xt，所以t；

313x02若P在第三象限，则，所以x

323x0（2）因为OA(1,2),PB(33t,33t)

若OABP是平行四边形，则OAPB

33t1所以此方程组无解；

33t2故四边形OABP不可能是平行四边形

例6：已知ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,1),BC边上的高为AD，求AD

解：设D(x,y) 则ADx2,y1,BDx3,y2,BCb,3

∵ADBC,BDBC

6x23y10x1得

3x36y20y1所以AD1,2

例7：

如图，设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，则C(,y2) ppp则FA(x1,y1),FB(x2,y2),OA(x1,y1),OC(,y2)

222p2p2∵

FA与FB共线

∴

(x1)y2(x2)y10

p2p2

pp(x1)(x2)22 （*）

即y1y22y1y2而x1,x22

2p2pyA代入（*）式整理得，y1·y2=-p

2y122x1y1y1y12p因为

2ppyyy122()()p222oCBFx∴

OA与OC是共线向量，即A、O、C三点共线，

也就是说直线AC经过原点O 解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2) 欲证A、O、C共线，只需且仅需kOAkOC，即y1y2

px12p22y1又x1

2p∴

只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明

点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了

例8：

已知向量u(x,y)与v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示

（1）

证明：对于任意向量a,b及常数m，n恒有

f(manb)mf(a)nf(b)成立；

（2）

设a(1,1),b(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

求使f(c)(p,q)，（p，q为常数）的向量c的坐标

解：（1）设a(a1,a2),b(b1,b2)，则

manb(ma1nb1,ma2nb2)，故

f(manb)(ma2nb2,2ma22nb2ma1nb1)

m(a2,2a2a1)n(b2,2b2b1)，

∴f(manb)mf(a)nf(b)

（2）由已知得f(a)=（1，1），f(b)=（0，－1）

（3）设c=（x，y），则f(c)(y,2yx)(p,q)，

∴y=p，x=2p－q，即c=（2P－q，p）

例9：

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足OCOAOB，其中,R且1，则点C的轨迹方程为（）

22A.x1y15

B.3x2y110

C.2xy0

D.x2y50

解法一：设Cx,y，则OCx,y,OA3,1,OB1,3

由OCOAOB得x,y3,,33,3

x3于是y3

1x41先消去，由1得

y32再消去得x2y50所以选取D

解法二：由平面向量共线定理，

当OCOAOB，1时，A、B、C共线

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得x2y50即选D

归纳小结：

1熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算

2两个向量平行的坐标表示

3运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合

§6.3 平面向量的应用举例

教学目的：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 (2)掌握向量的加法和减法

(3)掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件 (4)了解平面向量的基本定理理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的

坐标运算 (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 (6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式并且能熟练运用掌握平移公式

教学重点：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念掌握平面向量的数量积及其几何意义.

教学难点：运用向量解决实际问题.

教学过程：

一、知识梳理

1向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

运几何方法

坐标方法

运算性质

算类型

向

1平行四边形法则

ab(x1x2,y1y2)

abba

量

2三角形法则

的

(ab)ca(bc)

加

法

ABBCAC

向

三角形法则

量

的

减

法

向

量

的

乘

法

ab(x1x2,y1y2)

aba(b)

ABBA

OBOAAB

a是一个向量, 满足: >0时,a与a同向; <0时,a与a异向; =0时, a=0

a(x,y)

(a)()a

()aaa

(ab)ab

a∥bab

向

ab是一个数

量

的

a0或b0时, 数

量

ab=0 积

a0且b0时, abx1x2y1y2

abba

(a)ba(b)(ab)

(ab)cacbc

a2|a|2,|a|x2y2

ab|a||b|cosa,b

2重要定理、公式：

|ab||a||b|

(1)平面向量基本定理：e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1,2，使a1e12e2

(2)两个向量平行的充要条件：a∥ba＝λbx1y2x2y10

(3)两个向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20

(4)线段的定比分点公式：设点P分有向线段PP即PP12所成的比为λ，1＝λPP2，则OP＝xy11＋OPOP12 (线段的定比分点的向量公式) 11x1x2,1 (线段定比分点的坐标公式)y1y2.1

当λ＝1时，得中点公式：

x1x2x,12

OP＝（OP1＋OP2）或2yy1y2.2(5)平移公式：设点P(x,y)按向量a(h,k)平移后得到点P(x,y)，则OP＝xxh,a，曲线yf(x)按向量a(h,k)平移后所得的曲线的函数解OP+或yyk.析式为：ykf(xh) 3两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·︱b︱cos

b=︱a︱·其中︱b︱cos=ab称为向量b在a方向上的投影

|a|4向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=

（001800）叫做向量a与b的夹角

cos=cosa,b二、典型例题

abab=x1x2y1y2x1y1x2y22222

例1 :已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，

（1）求t的值；

（2）求证：b⊥（a+tb）

2分析：利用|a+tb|2=（a+tb）进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b·（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）

（1）解：设a与b的夹角为θ，则

|a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）

=|a2+t2|b2+2t|a|b|cosθ=|b|2（t+|a|cosθ）2+|a|2sin2θ，

|b|所以当t=－|a||a||b|cosabcosθ=－=－时，|a+tb|有最小值

22|b||b||b|（2）证明：因为b·（a+tb）=b·（a－所以b⊥（a⊥tb）

ab·b）=a·b－a·b=0，2|b|点评：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便

对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形读者可尝试用后一方法解答本题

13例2：已知平面向量a(3,1),b(,).若存在不同时为零的实数k和t,使

22xa(t23)b,ykatb,且xy.

（1）试求函数关系式k=f（t）

（2）求使f（t）>0的t的取值范围

解：（1）xy,xy0.即[(at23)b](katb)0.

1ab0,a24,b21,4kt(t23)0,即kt(t23).

4

1

（2）由f(t)>0,得t(t23)0,即t(t3)(t3)0.

4则3t0或t3

例3：

将函数y=－x2进行平移，使得到的图形与函数y=x2－x－2的图象的两个交点关于原点对称(如图)求平移向量a及平移后的函数解析式

解法一：设平移公式为

xxh代入yx2，得到

yykyk(xh)2.即yx22hxh2k，

把它与yxx2联立，

219(-,)24yy=x2-x-222yx2hxhk得

2yxx2-2-1o设图形的交点为（x1，y1），（x2，y2），

由已知它们关于原点对称，

x1x2即有

yy21由方程组消去y得：2x2(12h)x2h2k0

12h1且x1x20得h.

由x1x222又将（x1,y1），(x2,y2)分别代入①②两式并相加，

2得：y1y2x12x22hx1x2h2k2.

10(x2x1)(x2x1)(x1x2)k2

4919解得k.a(,)

42412y=-x2x1xx2代入y平移公式为：yy94x2得：yx2x2

解法二：由题意和平移后的图形与yx2x2交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可

1919，即是新图形yx2x2的顶点为(,)，它关于原点的对称点为（,）2424的顶点由于新图形由yx2平移得到，所以平移向量为1199h0,k0以下同解法一

2244§6.4 解斜三角形

教学目的：1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；

4熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；

5通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力

教学重点：利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

教学难点：运用所学知识解决实际问题的能力

教学过程：

一、知识梳理

1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径

abc2R（其中R表示三角形的外接圆半径）

即

sinAsinBsinC利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）

2余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a2c2b2第一形式，b=ac2accosB，第二形式，cosB=

2ac222利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

3三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则

11①Saha；②SbcsinA；

22abc③S2R2sinAsinBsinC；④S；

4Rabc⑤Sp(pa)(pb)(pc)；⑥Spr（其中p）

24三角形内切圆的半径：rabc斜2S，特别地，r直

abc25三角学中的射影定理：在△ABC 中，bacosCccosA，…

6两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，…

7三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC

ABCABCABCcos

cossin

tancot

222222tanAtanBtanCtanAtanBtanC

解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”

sin

二、典型例题

例1：

在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．

asinB3sin453解：由正弦定理得：sinA=, b22因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°，

bsinC

c=sinB2sin7562, 2sin45(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15

°，

bsinCc=sinB2sin1562

2sin45思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论．

例2 ：△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B

分析析：研究三角形问题一般有两种思路一是边化角，二是角化边

证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得

sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC

1cos2A1cos2B－=sinBsin（A+B）

221（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）

2，

sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B）因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0

所以sin（A－B）=sinB

所以只能有A－B=B，即A=2B

点评：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解

例3:已知锐角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A－B）=351

5（1）求证：tanA=2tanB；

（2）设AB=3，求AB边上的高

分析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以（1）为铺垫，解决（2）

（1）证明：∵sin（A+B）=，sin（A－B）=，

3sinAcosBcosAsinB5∴

1sinAcosBcosAsinB52sinAcosBtanA5=2

1tanBcosAsinB53515∴tanA=2tanB

（2）解：π3＜A+B＜π，∴sin（A+B）=

25∴tan（A+B）=－，

即tanAtanB3=－

1tanAtanB434将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，

解得tanB=得tanB=26（负值舍去）

2C26，

2∴tanA=2tanB=2+6

ADB设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=3CDCDCD+=

tanAtanB26由AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为2+6

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力

例4:在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及bsinB的值

c分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的b2bsinB关系，故可用余弦定理由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值

cc2解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac

又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc

在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a2bc1cosA===，∴∠A=60°

2bc2bc2bsinA在△ABC中，由正弦定理得sinB=，

a∵b2=ac，∠A=60°，

bsinBb2sin603∴=sin60°=

cac2解法二：在△ABC中，

由面积公式得bcsinA=acsinB

1212∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB

∴3bsinB=sinA=

2c评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理

例5: 设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1),b(cosx,3sin2x)

，]，求x；

33（２）若函数y=2sin2x的图象按向量c(m,n)(|m|<)平移后得到函数2y=f(x)的图象，求实数m、n的值

解：（１）依题设可知，函数的解析式为

2f(x)ab＝2cosx+3sin2x=1+2sin(2x+)

6由1+2sin(2x+)=1－3，可得三角方程

6xR

（１）若f(x)=1－3且x∈[－sin(2 x +∵-3)=－．

625≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-．

33266346（２）函数y=2sin2x的图象按向量c(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象

由（１）得

f(x)=2sin2(x+∵|m|<)+1

12，∴m，n1.

212点评

本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

例6:

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．

（１）用a，表示S1和S2；

（２）当a固定，变化时，求S1取最小值时的角．

S2

讲解

（１）∵ACasin,ABacos. ∴S11a2sincos1a2sin2.

24PBQ设正方形边长为x ASRC

则BQ=xctg,RCxtg xctgxxtga.

xaasincosasin2

ctgtg11sincos2sin2asin22a2sin22S2().

22sin24sin24sin2（２）当a固定，变化时，

121asin2(1sin2)2

S11424(sin24).12S2sin24sin2asin241(1sin2)22令sin2t,则S11(t44).

S24t

02,0t1. 令f(t)t4 t任取t1,t2(0,1]，且t1t2，

f(t1)f(t2)t1t24(tt)(tt4)44(t1t2)12(t1t2)(12)．

t1t2t1t2t1t2t1t20,0t1t21,t1t240,f(t)t4在(0,1]是减函数．

tf(t1)f(t2)0，

t1时,S1取最小值，此时.

4S2点评

三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数f(t)t4．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？

t例7 :某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离（不要求作近似计算）

解：在△AOB中，设OA=a，OB=b

因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°

则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+2ab≥2ab+2ab=（2+2）ab，当且LAOB

仅当a=b时，“=”成立又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α所以a=1010，b=，

sinsin（45）ab==1010100·=

sinsin（45）sinsin（45）100100=2222sin（cossin）sin2（1cos2）22444004002sin（245）2=

≥22，

当且仅当α=22°30′时，“=”成立

所以|AB|2≥400（22）22=400（2+1）2，

当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立

所以当a=b=10=10（时，|AB|最短，其最短距离为20（2+1），222）sin2230即当AB分别在OA、OB上离O点10（

km处，能使|AB|最短，最短距离222）为20（2－1）

归纳小结： 1在△ABC中，∵A+B+C=π，

∴sinABCABCABC=cos，cos=sin，tan=cot

2222222∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°

3在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边并常用正弦（余弦）定理实施边角转化

5用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长

6用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补