2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录及点评

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示（第一课时）

一、教材分析

本节内容是数学必修4 第二章第三节的第二课时，向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.

二、教学目标

1. 知识与技能：使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面

向量的坐标表示及其运算；

2. 过程与方法：通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理

的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量

的“量化”表示。

3. 情感态度与价值观：在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

三、教学重难点

1. 重点：平面向量基本定理与向量的坐标表示

2. 难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

四、教学过程

1. 引入新课

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？

F1

F2

G

在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论. 【设计意图】复习回顾，设置物理情境，便于学习新知．

【设计说明】学生探究回答．

2. 探究新知

（1）由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量

a均可以分解为不共线的两个向量a1,a2，使a1a12a2，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

（2）．平面向量的坐标表示

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj…………①

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

a(x,y)…………②

2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a相等的向量的坐．．．．．．．标也为．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

3. 运用新知

例1设e1、e2是平面内一组基底，证明：当1e12e20,时，恒有120.

证明：假设10,则由1e12e20,得

所以e1、e2是共线向量，与已知e1、e2是平面内一组基底相矛盾，所以10,

同理20,故恒有120.

变式练习：设两个非零向量a,b不共线，试确定实数k，使kab和akb共线

（丛书127页12题）

例2用基底i,j分别表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标



aAA1AA22i3jybjA2Baa(2,3)b2i3j(2,3)c2i3j(2,3)Aid

xOcd2i3j(2,3)aAB(4,5)(2,2)(2,3)【设计意图】设置提问：引导学生看图分析，让学生能够通过这些问题，弄清向量的坐标表示及应用．

【设计说明】师生共同分析，抓住关键，提问学生看图回答．

变式练习:

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？

B

P

a

j

a=23i+2j

O i

A

4、课堂小结

平面向量的正交分解以及坐标表示

【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

5、布置作业

P102习题2.3A组：3，4, 5, 6

P102习题2.3B组：3，4.

【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了巩固学习效果；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生进一步理解向量的有关概念，起到让学生课下探索发现、预习新课的作用．

五、板书设计

本节课主要研究了平面向量的正交分解以及坐标表示，由于物理当中力的正交分解应用比较广泛，所以这节课的内容就显得比较简单，学生很容易接受，所以我认为没有必要作为一课时的内容，可以和平面向量的基本定理合二为一.

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的正交分解及坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量a的坐标表示. 例1 设e1、e2是平面内一组基底，证明：当1e12e20,时，恒有120.

例2

用基底i,j分别表示向量a,b,c,d，并求出它们的坐标

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