探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案及板书设计

基础巩固题组

(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限(

) A.第一象限

C.第三象限

B.第二象限

D.第四象限

解析

由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角. 答案

B 2.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝(

) 4A.5

3B.5

3C.－5

4D.－5

－44解析

由三角函数的定义知cos α＝＝－5

.

（－4）2＋32答案

D 3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(

) πA.3

C.3

πB.2

D.2 解析

设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，

∴α＝3.

答案

C 3π3π落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为4.已知点Psin 4，cos 4(

) π3π5π7πA.4

B.4

C.4

D.4

3π3π解析

由sin 4＞0，cos 4＜0知角θ是第四象限的角，

3πcos 47π∵tan θ＝＝－1，θ∈[0，2π)，∴θ＝4.

3πsin 4

答案

D ααsincos225.若α是第三象限角，则y＝＋的值为(

) ααsin2cos 2A.0

B.2

C.－2

D.2或－2 3解析

∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋2π(k∈Z)，

πα3π∴kπ＋2＜2＜kπ＋4(k∈Z)，

∴2是第二象限角或第四象限角.

α当2是第二象限角时，y＝αsin2sin2α－cos2αα＝0，

αcos2当2是第四象限角时，y＝－答案

A 二、填空题

ααsin2sin2α＋cos 2αα＝0，故选A. cos 26.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边25上一点，且sin θ＝－5，则y＝______. 解析

因为sin θ＝y25＝－，

2254＋y所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8. 答案

－8 7.函数y＝3sin x－2的定义域为________. 33解析

∵sin x≥2，作直线y＝2交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角

απ2π. 的集合为x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z33

π2π答案

2kπ＋，2kπ＋，k∈Z

338.在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(3，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________. 解析

设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，

∴x＝2cos 60°＝1，∴y＝2sin 60°＝3，

∴B点的坐标为(1，3). 答案

(1，3) 三、解答题

9.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值. 解

∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，

∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，

则x＝4t，y＝－3t，

r＝x2＋y2＝（4t）2＋（－3t）2＝5|t|，

当t>0时，r＝5t，

y－3t3x4t4sin α＝r＝5t＝－5，cos α＝r＝5t＝5，

y－3t3tan α＝x＝4t＝－4；

y－3t3当t<0时，r＝－5t，sin α＝r＝＝，

－5t5x4t4y－3t3cos α＝r＝＝－5，tan α＝x＝4t＝－4. －5t34334综上可知，sin α＝－5，cos α＝5，tan α＝－4或sin α＝5，cos α＝－5，

3tan α＝－4.

10.一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解

设圆的半径为r cm，弧长为l cm，

1lr＝1，r＝1，2则解得

l＝2.l＋2r＝4，l∴圆心角α＝r＝2弧度. 如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1弧度. ∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm). 能力提升题组

(建议用时：20分钟) πsin θcos θ11.已知角α＝2kπ－5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋|sin θ||cos θ|tan θ＋的值为(

) |tan θ|A.1

B.－1

C.3

D.－3 π解析

由α＝2kπ－5(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1. 答案

B 2π12.点P从(1，0)出发，沿单位圆x＋y＝1逆时针方向运动3弧长到达Q点，22则Q点的坐标为(

) 13A.－，

2213C.－，－

22

31D.－，

2231B.－，－

222π2π13，即－，. 解析

由题意知Q点坐标为cos ，sin3322

答案

A 13.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，→1)时，OP的坐标为________.

︵解析

如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ, Q为垂足.根据题意得劣弧DP＝2，故π∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－2，

ππ|CQ|＝cos2－＝sin 2，|PQ|＝sin2－＝－cos 2，

22所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，→＝(2－sin 2，1－cos 2).

所以P点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，故OP答案

(2－sin 2，1－cos 2) 14.如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒ππ钟转3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转6弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.

解

设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，

ππ－＝2π.所以t＝4(秒)，

则t·3＋t·6即第一次相遇的时间为4秒.

π4π设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在3·4＝3的ππ位置，则xC＝－cos 3·4＝－2，yC＝－sin 3·4＝－23. 所以C点的坐标为(－2，－23). 416P点走过的弧长为3π·4＝3π. 28Q点走过的弧长为3π·4＝3π.