信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象主要内容及教案内容

1.4.5 正切函数的图像和性质

湖南省长沙市望城区第一中学

陈国军

一、

教学目标：

1、

知识与技能

（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、

过程与方法

类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、

情感态度与价值观

使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点

重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质

难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题

三、学法与教学用具

我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板

第一课时 正切函数的图像及性质

一、教学思路 【创设情境，揭示课题】

常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，并研究它的图像和性质。

【回顾旧知】

请同学们先回顾一下

1.正弦、余弦函数图像的作法和其性质。

2.正弦、余弦线的作法，引出正切线概念。

【探究新知】

1．

正切函数的定义

＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单2bb位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫aa作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.

2在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠

1

比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝sin (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).

cos2由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。

下面，我们给出正切函数值的一种几何表示. y 如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α

的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角

30

T的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：

当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； o x A

当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。

P 210

分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两

个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，

我们称有向线段AT为角α的正切线。

2．正切函数的图象

（1）首先考虑定义域：xk2kz

（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：

tanxsinxsinxtanxxR,且xk,kz

cosxcosx2

∴ytanxxR,且xk,kz的周期为T（最小正周期）

2（3）因此我们可选择

,的区间作出它的图象。

22y 2O 2x 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数ytanx且x

xR，2kkz的图像，称“正切曲线”

2

y 3220 23x 2从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。

3．正切函数y＝tanx的性质

引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：x|x（2）值域：R

观察：当x从小于k

当x从大于（3）周期性：T

（4）奇偶性：tanxtanx奇函数。

（5）单调性：在开区间＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支2k,kz，

22kz，xk时，tanx

22kkz，x2k时，tanx。

k,kkz内，函数单调递增。

22【巩固新知】

例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：（教材P.45第2题）

(1)tanx0; (2)tanx0; (3)tanx0

x)的定义域、周期和单调区间。

例2.求函数

y



tan(

23

【当堂练习】

1.利用正切函数的图像解不等式：tan2x≤-1 2.比较 tan1、 tan2、 tan3的大小；

3.教材P.47第2题。

【归纳小结】

（一）正切函数的图像与性质

（二）正切函数的性质

3

【反思回顾】

这节课对你来说,有哪些知识、方法和数学思想上的收获？请谈谈你的体会？

作业：教材P.46第6、7、8、9题。

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