阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教案1

广东番禺中学2017-2018上学期高三年级数学学科集体备课学案

课题：平面向量的数量积及其应用

授课时间：2017年9月20日

班级：

姓名：

学号：

一.学习目标

1.理解平面向量的数量积及向量投影的含义；

2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运动数量积表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系；

3.掌握必要的数学思想与方法，能运用它们解决向量问题。

二.学习重点与难点

重点：平面向量数量积及其应用。

难点：向量问题的两种处理方式：纯向量式和坐标式的灵活运用和相互补充。

三.知识点回顾

1．向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则 就是向量a与b的夹角．

(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则

.

(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b

；若θ＝180°，则a与b

；θ＝90°，则a与b

. 2．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2) 坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝

(3)投影：b在a方向上的投影为：a在b方向上的投影为：,

3．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝

(交换律)．

(2)λa·b＝

＝

(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝

(分配律). 4.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. - 1 -

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模

夹角

a⊥b

四. 典例研讨

考点一

平面向量数量积的运算

几何表示

|a|＝

cos θ＝

|a|＝

cos θ＝

坐标表示

ab

[例1]

(1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(

) 7135A．－

B．－

C.

D.

2222

CD＝(

) （2）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·3A．－a2

23

B．－a2

433C.a2

D.a2 42

练习：

1．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为(

) 32A．－

232C.

2

B．－35

D．35

CA＝b，AB＝c，2．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，则a·b＋b·c＋c·a＝(

) 3A．－

23C.

2

3. 如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则OC·(OB－OA)＝________. - 2 -

B．0

D．3

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考点二

平面向量的垂直问题

[例2]

(1) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(

) 915A．－

B．0

C．3

D.

22

(2)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是(

)

A．|b|＝1

C．a·b＝1

考点三

平面向量模的相关问题

[例3]

(1) (2016·兰州一模)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(

) A.5

B.10

C．25

π(2)

(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝(

) 3A．2

C．23

考点四

平面向量的夹角问题

[例4]

(1)

已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(

) A．30°

C．120°

- 3 -

B．a⊥b

D．(4a＋b)⊥BC

D．10

B．6

D．12

B．60°

D．150°

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(2) (2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是(

) A.5

55

51

B.

51

D．－

5

C．－

1练习：

(1) 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e13－e2的夹角为β，则cos β＝

.

22（2）向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(

) 3ππ3πA.

B.

C.

424

五. 学习心得（小结）

六、教学后记（反思）

D．π

1、要重视审题训练，发挥典型例题的作用，要继续研究复习课功能及特点; 2、解题后注重反思，课堂氛围还可以更活跃。

七、课后作业：完成针对训练卷

- 4 -

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平面向量的数量积及其应用针对训练题

班级：

姓名：

学号：

成绩：

2）1）b=1.【2017课标Ⅰ】已知向量a=（–1，，（m，．若向量a+b与a垂直，则m=________．

2.【2017课标II】设非零向量a，b满足A.a⊥b

B. a+b=a-b则（

）

a=b

C. a∥b

D. ab

3.【2017课标Ⅲ】已知向量a(2,3),b(3,m)，且ab，则m=

. n<0”的（

）

4.【2017北京】设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·（A）充分而不必要条件

（C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

13315．(2016·全国丙卷)已知向量BA＝，，BC＝，，则∠ABC＝(

) 2222A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

6．(2015·新课标全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(

) A．－1

B．0

C．1

D．2 7．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝(

) A．1

B．2

C．3

D．5 8．(2016·全国乙卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.

9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.

10．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________. 11．(2012·新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

12．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.

13.

已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 14.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线21段BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________ 36- 5 -