信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象ppt课件课堂实录

1.4.3 正切函数的性质与图像教学设计

风陵渡中学

李海茹

一、教学目标：

知识与技能：

通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．

过程与方法：

在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．

情感、态度与价值观：

通过本节的学习，使同学们感受研究和学习函数的一般方法，培养类比思想和抽象概括能力，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．

二．重点难点 重点：探究正切函数的性质，会画正切函数的图象. 难点：画正切函数的简图.

三、教材与学情分析

本节课的背景是：这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法．

通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．

由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．

四、教学方法

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问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

1.创设情境

(直接导入)前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，同学们回忆一下正、余弦函数都有哪些性质？我们能否根据这些性质及前面学过的一些知识先来研究正切函数的性质，然后再根据性质探究正切函数的图像呢？由此引入新课——正切函数的性质与图象（板书课题）．

2.

新知探究

（1）回顾旧知，探究正切函数的性质

提出问题

——分组讨论——解决问题

①正切函数的定义是什么？角a终边与单位圆的交点为P（x,y）,则tana=__________ ，从定义中

能得到正切函数的定义域是什么？

y根据正切函数的定义tanα＝，显然，当角α的终边落在y轴上任意一点时，都有x＝0，这时正切函数

xπ是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ＋，k∈Z，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ2ππ＋，k∈Z}，而不是{α≠＋2kπ，k∈Z}，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应22提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．

②定义域是否关于原点对称？

tan(-x)= __________,这能说明正切函数的什么性质？它是______函数

由诱导公式tan(－x)＝－tanx，可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．

③对于函数f(x).如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f (x),那么常数T叫做这个函数的_______ tan(π+x)= _______,这个诱导公式能说明正切函数的什么性质？

π由诱导公式:tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π.

2④你会在单位圆中画出一个角的正切线吗？请在下面单位圆中画出正切线，你从三条正切线中能得到什π么？在（0，

）范围内随着角的增大，正切值在__________，所以我们能得到什么结论？

2结合前面三个性质我们能得到正切函数的单调性是______________、

ππ通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－，)内是增函数，又由正切函数的周期22ππ性可知，正切函数在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数．

22⑤从正切线的变化趋势能看出它的值域吗？

ππ由多媒体课件演示正切线的变化规律，从正切线知，当x大于－且无限接近－时，正切线AT向Oy22ππ轴的负方向无限延伸；当x小于且无限接近时，正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸．因此，tanx在(－22

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ππ，)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．

22因此，正切函数的值域是实数集R.

y

o

(1,0)

x

（2）图象探究

问题⑥正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，ππ这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出(－，)内的图象，改为先作出22[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－ππ，)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生来作正切函数的图象。

221）结合单调性和描点法画图象试着画出正切函数在（0，

）的图象

π2π2).再利用奇偶性画出它在(--2

，0）的图象：

3)能利用周期性画出它在定义域内的图象吗？

π根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，2我们称正切曲线，如图3.（课件动画展示）

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图2

图3

提出问题

:①请同学们认真观察正切函数的图象特征，由数及形从正切函数的图象讨论它的性质．

②设问：每个区间都是增函数，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子．

π活动：问题①，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组2成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质π——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(－＋kπ，2π＋kπ)，k∈Z，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．通过图象我2kπ们还能发现是中心对称，对称中心是(，0)，k∈Z. 2问题②，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．

讨论结果：①略．

②略．

（3）题型探究

ππ例1求函数y＝tan(x＋)的定义域、周期和单调区间．

23活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换ππ元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将x＋作为一个整体．教师可让学生自己类比地23探究，只是提醒学生注意定义域．

πππ解：函数的自变量x应满足x＋≠kπ＋，k∈Z，

23211即x≠2k＋，k∈Z.

所以函数的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}．

33ππππππ由于f(x)＝tan(x＋)＝tan(x＋＋π)＝tan[(x＋2)＋]＝f(x＋2)，

232323ππππ51因此，函数的周期为2. 由－＋kπ0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝. ωπ变式训练1. 求函数y＝tan(x＋)的定义域，值域，单调区间，周期性．

4

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πππ解：由x＋≠kπ＋，k∈Z可知，定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．

424值域为R. πππ3ππ由x＋∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z可得，在x∈(kπ－，kπ＋)上是增函数．

42244π周期是π，也可看作由y＝tanx的图象向左平移个单位得到，其周期仍然是π.

4例2比较大小．

13π17π(1)tan138°与tan143°；

(2)tan(－)与tan(－)．

45活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．

解：(1)∵y＝tanx在90°

444417π17π2π2πtan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan. 5555π2πππ又0<<<，而y＝tanx在(0，)上是增函数，

4522π2ππ2π13π17π∴tan－tan，即tan(－)>tan(－)．

454545点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象即可．

变式训练2：

(1).tan(例3用图象求函数y＝tanx－3的定义域．

)与tan()343（2）tan()与tan64活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．

图4

图5

ππ解：由tanx－3≥0，得tanx≥3，利用图4知，所求定义域为[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．

32点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，如图5.本节的重点是正切线，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种．

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变式训练3. 根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．

(1)1＋tanx≥0；(2)tanx＋3＜0. 解：(1)tanx≥－1，

ππ∴x∈[kπ－，kπ＋)，k∈Z；

42ππ(2)x∈[kπ－，kπ－)，k∈Z. 23六、课堂小结

1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．

2．(教师点拨)本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

七、课后作业

课本习题1.4

A组6、8、9. 八、教学反思

1．本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．

2．本教学设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高．

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