探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期公开课教案

1.2.1 函数的概念 教学设计

重庆市复旦中学 刘小红

一、教材分析：

本节内容为《1.2.1函数的概念》

，是人教A版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如：

1，当x是有理数时，

f(x)0，当x是无理数时.

对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法．

二、学情分析：

在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.

三、教学目标: (一)知识与技能

理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素. （二）过程与方法

通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华. （三）情感、态度与价值观

通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美.

四、教学重点与难点：

（一）教学重点

体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数. （二）教学难点

函数概念的理解及符号“yf(x)”的含义.

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五、教学策略: 首先，通过魔术表演，体现函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性；其次，在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例，从解析法、图象法、列表法等不同的方式，结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识，为学生用集合与对应的语言刻画函数打下感性基础；再次，分析讲解函数概念中的关键点时，对于对应关系f、函数关系中多对一的情况、值域是集合B的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验，让抽象问题具体化；最后，通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景，用集合与对应的语言来分析函数并强调函数关系中对应关系的方向.

六、教学基本流程：

一、情景引入

（魔术表演）

感受生活中的函数关系.

二、复习回顾

（初中函数定义）

强调运动变化的过程.

三、探索新知

（分析教材三个实例中变量的共性）

感受用集合与对应的语言描述.

四、新课讲解

（给出函数概念）

强调、分析概念中的关键点.

（展示课堂流程）

（揭示魔术设计的

感受课堂设计中所技巧性）

蕴含的基本思想.

感受函数概念中

“唯一确定”的必

要性.

七、教学情景设计：

教学流程

教学内容

一、

情

景

引

入

魔术表演

八、课堂小结

七、情景再现

六、巩固新知

(拓展三个实例) 辨析函数概念，强调对应关系的方向，感受用集合与对应语言描述函数的必要性.

五、实验操作

（放乒乓球实验）

体会函数概念中抽象的关键点，强调初、高中对函数定义本质是一样的，只是出发点不同.设计意图

师生活动

师：让学生任意抽取一张标有数字的卡片，给定学生计算法则，在学生的配合下，推算出所抽到的卡片. 生：按照老师给定的对应法则进行计算，准确告诉老师最终计算结果.

感受函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性.

2

教学流程

二、

复

习

回

顾

教学内容

阐述初中课本中函数的定义.

设计意图

师生活动

师：提问初中函数的定义.

生：回顾初中函数的定巩固旧知识，为本节课知识迁义. 移埋下伏笔，做好衔接准备.

师:强调初中函数的概念

是从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.

从案例1中找出函数可以用解析式来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力。

通过对两个问题的的思考，

巩固初中函数的定义，为初高中从不同角度刻画函数关系做好铺垫.

通过启发学生用集合与对应的语言表述变量之间的依赖关系，让学生感性点地认识用集合与对应的语言描述函数关系.

从案例2中找出函数可以用图象来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力。

通过对两个问题的的思考，

让学生感性地认识用集合与对应的语言描述函数关系.

从案例3中找出函数可以用列表来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力。

通过对两个问题的的思考，

让学生感性地认识用集合与对应的语言描述函数关系.

师：分析实例1，提出问题并让学生讨论. 生：根据初中函数的定义，给出高度变量h为时间变量t的函数的理由.同时用集合描述变量h和t的变化范围. 师：启发学生用集合与对应的语言表述变量之间的依赖关系.

三、

探

索

新

知

（1）对教科书中的实例1，让学生思考以下两个问题：

①根据初中函数的定义，分析高度量h是否为时间变量t的函数？

②用集合描述变量h和t的变化范围分别是什么？

（2）用集合与对应的语言描述变量h和t的关系.

对教科书中的实例2，让学生思考以下两个问题: ①用集合描述变量S和t的变化范围分别是什么？

②仿照实例1，用集合与对应的语言描述变量S和t的关系.

对教科书中的实例3，让学生思考以下两个问题: ①用集合描述变量r和t的变化范围分别是什么？

②仿照实例1、2，用集合与对应的语言描述变量r和t的关系.

师：分析实例2，提出问题并让学生讨论. 生：用集合描述变量S和t的变化范围. 仿照实例1，用集合与对应的语言描述变量S和t的关系.

师：分析实例3，提出问题并让学生讨论. 生：用集合描述变量r和t的变化范围. 仿照实例1、2，用集合与对应的语言描述变量r和t的关系.

3

教学流程

三、

探

索

新

知

四、

新

课

讲

解

教学内容

设计意图

师生活动

师：让学生分组讨论三个实例中，变量之间关系的共同点. 生:概括出三个实例中，变量之间关系的共同点.

师：强调、分析概念中的关键点. ①A，B是非空的数集；

②对应关系f可以通过解析式、图象、列表来表示；

③任意、存在、唯一；

④符号“yf(x)”的含义；

⑤函数三要素：定义域A、值域、对应关系.

研讨探究：

分析、归纳三个实例中，概括出函数的定义

变量之间关系的共同点.

非空的数集，如果按照某

种确定的对应关系f，使

对于集合A中任意一个数

x，在集合B中都有唯一

确定的数f(x)和它对应，

那么就称f:AB为从通过集合与对应的语言来刻使学生加深集合A到集合B的一个函画初中已学函数，理解函数的本质及构成函数数，记作yf(x),xA.

的基本要素. 一般地，设A，B是其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域. 动一动：

请将A盒子中的所有乒乓球放入B盒子中. 思考：A中的乒乓球和B中的格子都标有数字，可以把A,B看成两个非空数集，那么每一种放法是从A到B的一个函数吗？若是，它的值域是什么？

五、

实

验

操

作

通过放乒乓球的实验，将函数概念中：

师：启发学生思考每一种方法实质就是一个对应关系，通过对应关系，可以出现多对一，但不可一①对应关系f；

对多，同时，通过实验结②函数关系中多对一的情况；

果理解值域是集合B的一③值域是集合B的子集. 个子集. 等较为抽象的问题题具体化，生：小组合作讨论每一种生活化. 放法是否为从集合A到集

合B的一个函数.若是，

则求它的值域. 师：强调初、高中对函数定义本质是一样的，只是出发点不同，用集合与对应的语言来描述函数可以摆脱物理运动的束缚.

4

教学流程

六、

巩

固

新

知

教学内容

例1:拓展实例1，抛开炮弹运动变化的背景，保持设计意图

师生活动

师：启发学生抛开物理运动的背景，利用集合与对应的语言描述函数关系. 同时，让学生感受用集合与对应语言描述函数的必要性.并通过实例的拓展强调对应关系的方向. 生：结合函数的定义，利用集合与对应的语言描述函数关系，感受用集合与对应语言描述函数的必要性.

集合A和对应关系f不

变，分别缩小和扩大集合

B，辨析对应关系f是否

为从集合A到集合B的函

数，若是，值域是什么？

集合A，B和对应关系都

不变，辨析对应关系f是

否为从集合B到集合A的

函数.

例2: 拓展实例2，抛开

臭氧层空洞面积S随时间

t的变化的背景，辨析对

应关系f是否为从集合A辨析函数概念，强化值域的定到集合B的函数以及从集义，感受用集合与对应语言描合B到集合A的函数. 述函数的必要性，强调对应关

系的方向.体现从特殊到一例3: 拓展实例3，抛开般，再从一般到特殊的思想，恩格尔系数r随时间t的实现感性认识到理性认识的变化的背景，辨析对应关升华. 系f是否为从集合A到集合B的函数以及从集合B到集合A的函数.

例4：下列集合A到集合B的对应f中：

①A={-1,0,1},B={-1,0,1},

f:A中的数的平方；

②A={0,1},B={-1,0,1}, f:A中的数开方；

③A=R,B={正实数}, f:A中的数取绝对值；

是从集合A到集合B的函数为：

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教学流程

七、

情

景

再

现

八、

课

堂

小

结

教学内容

揭示魔术设计的技巧：

由于魔术需要进行逆推，所以设计时尽量选择一对一的函数模型，有意回避多对一的函数模型.

学生交流：

这一节课你有哪些收获呢？

老师总结：

函数的概念：

①函数的传统定义（运动变化的角度）

②函数的近代定义（集合与对应的角度）

课堂设计思路：

1、从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；

2、实现从感性认识到理性认识的升华；

3、化抽象为具体，化数学为生活的思想.

课后作业：

1、习题 1.2 B组

第1题. 2、阅读课本26页阅读材料《函数概念的发展历程》，以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会.

设计意图

揭示魔术设计的技巧性，感受函数概念中

“唯一确定”的必要性，实现感性认识到理性认识的升华.

师生活动

师：揭示魔术设计的技巧. 生：结合函数的概念，感受魔术设计的技巧性,体会函数在实际生活中的运.

通过同桌交流本节课的收获，

培养学生的合作、沟通、交流

的意识，增加学生的自信心，

促进学习的积极性.

师：让学生同桌交流本节通过老师总结，让学生感受课课的收获. 堂设计中所蕴含的基本思想，生：相互交流收获. 增强对函数概念的理解. 师：总结课堂设计思路.

九、

课

后

作

业

巩固函数的概念，感受数学文化.

师：布置作业，强调作业要求.

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