2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

刘艳彩

【教学内容】

本课时的内容是“平面向量的正交分解及坐标表示”。平面向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量线性运算的坐标表示。

【教学目标】

知识与技能：

1.理解向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)

过程与方法：

学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：

在实现平面向量坐标表示的过程中，让学生能够独立思考、探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

重点：

平面向量坐标表示的定义及相关运算

难点：

对平面向量坐标表示生成过程的理解

【教学过程】

一、知识再现

平面向量基本定理： 如果e1,e2

是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向

1

、a，有且只有一对实数 aλe1+λe2。

量 12，

使 =12

(1)我们把不共线向量e,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

1(2)基底不唯一；

a都可以沿两个不共线的方向（

e1,e2

的方向）分解成两个(3)任一向量 向量（1e1,2e2）和的形式；

(4)基底给定时，分解形式唯一. 向量的夹角：

二、教学设计. （一）问题情境：

设计说明：引出课题。回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

（二）向量坐标表示的定义探究 提出问题

1.师：如图，该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．这三个力之间有什么关系？

生：G=F1+F2 师：重力G的的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．

类似地，把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．

在平面上，如果选取互相垂直的两个向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便. 2.平面向量的坐标表示

师：如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj．

这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a＝(x,y)叫作向量的坐标表示. 根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i、j以及零向量的坐标表示是怎

2

样的？

生：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)．

例2 如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标. 解析：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.

解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj,

∴a=(2,3).

同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3).

点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. （三）向量与坐标的关系

1.什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？

当向量的起点为原点时，向量的坐标能和点的坐标统一起来。

2.

相等向量的坐标有什么关系？

相等,与起点的位置无关.

3.

平面向量线性运算的坐标表示

3

结论1：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 结论2：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

(先让学生独立完成，然后同桌之间互相交流，最后全班交流并总结结论。) （本题以例题的形式呈现，让同学们在思考交流的基础上总结结论，引导学生掌握相应的方法。）

结论3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 4.例题讲解

4

（让学生体验到用向量知识解决问题的简便性及解决同一问题方法的多样性。）（四）本节课堂总结: ⑴向量的正交分解

⑵向量的坐标表示

1.向量和与差的坐标 2.实数与向量积的坐标 3.向量的坐标

（五）作业：

课本100页练习1、2、3题

板书设计：

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

向量的正交分解 向量和与差的坐标 向量的坐标表示 实数与向量积的坐标 向量的坐标

教学后记:

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