2.1.2 向量的几何表示教学设计模板

平面向量及其线性运算复习课

教学设计

导学目标：

1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

自主梳理

1．向量的有关概念

(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．

（2）表示方法：用

来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的→→方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB，BC，…表示．

(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．

(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．

(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________. (6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．

(7)相等向量：长度______且方向______的向量．

2．向量的加法运算及其几何意义

→→→（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b→→的

，记作

，即

=AB+BC=

，这种求向量和的方法叫做向量加法的

.

（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对→角线OA就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的

.

(3)加法运算律

a＋b＝________ (交换律)；

(a＋b)＋c＝____________(结合律)．

3．向量的减法及其几何意义

(1)相反向量

与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．

(2)向量的减法

①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．

→→→→②如图，AB＝a，，AD＝b，则AC＝

，DB＝____________.

4．向量数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝______；

②当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______. (2)运算律

设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝________.(结合律) ②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律) ③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b与a

(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 5．重要结论

→1→→→PG＝(PA＋PB＋PC)⇔G为△ABC的________；

3→→→PA＋PB＋PC＝0⇔P为△ABC的________．

自我检测

→1.（2010·四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC＝16，→ABAC＝ABAC|，|则|AM|等于

(

) A．8

B．4

C．2

D．1 2．下列四个命题：

①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；

②对于实数m和向量a，b (m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；

③若ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则m＝n；

④若a＝b，b＝c，则a＝c，

其中正确命题的个数为

(

) A．1

B．2

C．3

D．4 →→→→→3.在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN等于

(

) 1111A．－a＋b

B．－a＋b

4422133C．a＋b

D．－a＋b

244→→→→→4.（2010·湖北）已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝m，成立，则m等于

(

) A．2

B．3

C．4

D．5 →5.（2009·安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝→→λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______. 探究点一

平面向量的有关概念辨析

例1

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

→→③向量AB与向量CD共线，则A、B、C、D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c. 以上命题中正确的个数(

) A．1

B．2

C．3

D．0 变式迁移1

下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①|a|＝|b|⇒a＝b；

②若a＝b，b＝c，则a＝c；

③|a|＝0⇒a＝0；

为

→→④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB＝DC⇔四边形ABCD是平行四边形．

探究点二

向量的线性运算

例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.→1→→求证：EF＝(AB＋DC)．

2

变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，→→→→→M、N分别是DC、AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a、b、c表示BC，MN，→→DN＋CN.

探究点三

共线向量问题

→→例3

如图所示，平行四边形ABCD中，AD＝b，AB＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.

变式迁移3

设两个非零向量e1和e2不共线．

→→→(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；

→→→（2）如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．

→1→→1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则OP＝(OA＋OB)．如图所示．

2

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

3．三点共线的性质定理：

→→（1）若平面上三点A、B、C共线，则AB＝λBC. →→→（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则OC＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1.

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是

(

) →→→→→→A.EF＝OF＋OE

Ｂ.ＥF＝OF－OE

→→→→→→Ｃ.EF＝－OF＋OE

D. EF＝－OF－OE

→→→2.设a，b为不共线向量，

AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是

(

) →→→→A.AD＝BC

B.AD＝2BC

→→→→C.AD＝－BC

D.AD＝－2BC

3．(2011·杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：

①若a与b共线，则b＝λa；

②若b＝－λa，则a与b共线；

③若a＝λb，则a与b共线；

④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b. 其中正确的结论有

(

) A．①②

B．①③

C．①③④

D．②③④

→→→→→4.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于

(

) 2152A.b＋c

B.c－b

33332112C.b－c

D.b＋c

3333→→5.（2010·广东中山高三六校联考）在△ABC中，已知D是AB边上一点，AD＝2DB，1→→→CD＝CA＋λCB，则λ等于

3（

）

2112A.

B.

C．－

D．－

33331

2

3

4

5 题号

答案

二、填空题(每小题4分，共12分) →→→6.（2009·湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝______，y＝__________.

→→→→7.已知OP1＝a，OP2＝b，P1P2＝λPP2，则OP＝_________. →8.

（2011·青岛模拟）O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP1→→→→→→＝OA＋λ(AB＋AC)，λ＝时，则PA·(PB＋PC)的值为________．

2三、解答题(共38分) 9．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，1(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？

3

10.(12分)在△ABC中，AD1AE1→→BE与CD交于点P，且AB＝a，AC＝b，，，AB3AC4→用a，b表示AP.

11．(14分)(2011·黄山模拟)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．

→→→（1）求GA＋GB＋GO；

1→→→→（2）若PQ过△ABO的重心G，且，OA＝a，OB＝b，OP＝ma，OQ＝nb，求证：＋m1＝3. n

答案

自主梳理

1.（1）大小

方

向

（2）有向线段

（3）长度

|a|AB| a(4)任意的

(5)1个

±

(6)相同

相反

非零

共线向量

平行

(7)相等

相同

|a|→2.(1)和

a＋b

a＋b

AC

三角形法则

(2)平行四边形法则

(3)b＋a

a＋(b＋c)

3.(1)长度相等

方向相反

－a

(2)①(－b)

相反向量

②a＋b

a－b

4.(1)λa

①|λ||a|

②相同

相反

0

(2)①(λμ)a

②λa＋μa

③λa＋λb

5.(1)重心

(2)重心

自我检测

1.

2．C

[①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．] →→→→3.A

[由AN＝3NC得4AN＝3AC＝3(a＋b)，

11→→3a＋b

又AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－22411＝－a＋b.] 44

4．B

[由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，

→2→则AM＝AD，①

3→→→→因为AD为中线，AB＋AC＝2AD＝mAM，

→→即2AD＝mAM，②

联立①②可得m＝3.] 45.

3→→解析

设AB＝a，AD＝b，

1→1→→那么AE＝a＋b，AF＝a＋b，又∵AC＝a＋b，

222→2→→AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，

334∴λ＋μ＝. 3课堂活动区

例1

D

[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；

②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．

所以应选D.] 变式迁移1

②③④

解析

①模相同，方向不一定相同，

故①不正确；

②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；

③只有零向量的模才为0，故③正确；

→→④AB＝DC，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．

故应选②③④. 例2

证明

方法一

如图所示，

→→→→在四边形CDEF中，EF＋FC＋CD＋DE＝0.①

→→→→在四边形ABFE中，EF＋FB＋BA＋AE＝0.②

①＋②得

→→→→→→→→(EF＋EF)＋(FC＋FB)＋(CD＋BA)＋(DE＋AE)＝0. ∵E、F分别是AD、BC的中点，

→→→→∴FC＋FB＝0，DE＋AE＝0. →→→→→∴2EF＝－CD－BA＝AB＋DC，

→1→→即EF＝(AB＋DC)．

2方法二

取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．

→1→∵E为AD的中点，∴AE＝AD. 2

→1→→∵F是BC的中点，∴AF＝（AB＋AC)．

2→→→又AC＝AD＋DC，

1→→1→→1→→→∴AF＝（AB＋AD＋DC)＝（AB＋DC)＋AD

2221→→→＝（AB＋DC)＋AE

2→→→1→→∴EF＝AF－AE＝（AB＋DC)．

2→1→→即EF＝（AB＋DC)．

2→→→→变式迁移2

解

BC＝BA＋AD＋DC

例3

解题导引

(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．

(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．

→→→证明

在△ABD中BD＝AD－AB. →→→因为AB＝a,

AD＝b，所以BD＝b－a. ①

②

→→由共线向量定理知：CM∥CN，

→→又∵CM与CN有公共点C，∴M、N、C三点共线．

→→→变式迁移3 （1）证明∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，

→→→∴AC＝AB＋BC＝e1－e2＋3e1＋2e2

＝4e1＋e2＝11→（－8e1－2e2) ＝CD．

22

→→∴AC与CD共线．

→→又∵AC与CD有公共点C，∴A、C、D三点共线．

→→→→（2）AC＝AB＋BC＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2) ＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD共线．

→→从而存在实数λ使得AC＝λCD

即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．

3＝2λ，由平面向量的基本定理得

－2＝－λk.

λ＝2，解之，得4k＝3.课后练习区

3

4∴k的值为. 3→→→1．B

[由减法的三角形法则知EF＝OF－OE.]

3．D

[题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．] 5.

6．1＋解析

33

22

作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1⇒BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴6BD＝. 2由∠DBF＝45°，

623得DF＝BF＝×＝，

2223→→3→→所以BF＝ABFD＝AC，

22→→→→所以AD＝AB＋BF＋FD＝（11λ－17.a＋b

λλ3→3→）AB＋AC. 22λ－11λ－1＝a＋(b－a)＝a＋b. λλλ8．0

1→→→→→1→→解析

由OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ＝，得AP－（AB＋AC)，即点P为△ABC中BC22边的中点，

→→∴PB＋PC＝0. →→→→∴PA·(PB＋PC)＝PA·0＝0. →→→19．解

设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，

321→→→∴AC＝OC－OA＝－a＋b，……………………………………………………………(433分) →→→AB＝OB－OA＝tb－a.……………………………………………………………………(6分) →→要使A、B、C三点共线，只需AC＝λAB，

21即－a＋b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(833分) 22－＝－λ，λ＝，33∴

∴……………………………………………………(1111＝λt.t＝.32



分) 1∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分) 210．解

取AE的三等分点M，

1使|AM|＝|AE|，连结DM. 3设|AM|＝t，则|ME|＝2t. 1又|AE|＝|AC|，

4∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，

|AD||AM|1＝＝，…………………………………………………………………………(4分) |AB||AE|3|PC||PE||EC|9∴DM∥BE，∴＝＝＝. |DC||DM||MC|112∴|DP|＝|DC|.…………………………………………………………………………(8分) 11→→→→2→1→2→→∴AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AB＋(DA＋AC) 113111→→1→2－AB＋AC

＝AB＋31133→2→32＝AB＋AC＝a＋b.……………………………………………………………(12分) 1111111111．(1)解

∵点G是△ABO的重心，

→→→∴GA＋GB＋GO＝0.……………………………………………………………………(2分) →1(2)证明

∵M是AB边的中点，∴OM＝(a＋b)．

2→2→1∵G是△ABO的重心，∴OG＝OM＝(a＋b)．

33→→∵P、G、Q三点共线，∴PG∥GQ，

→→且有且只有一个实数λ,使PG＝λGQ.…………………………………………………(5分) ，

1111∴(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．…………………………………………………(8分) 3333又因为a、b不共线，所以

11－m＝－λ33，……………………………………………………………………(10分) 11＝λn－33

11消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.……………………………………………(14分)

mn