2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录【1】

教案 必修4 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

【教学目标】

1、知识与技能

理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。

2、过程与方法

在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。

3、情感、态度与价值观

让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。

【教学重点】

平面向量的坐标运算。

【教学难点】

理解向量坐标化的意义。

【教学方法】

讲练结合法。

【教学过程】

〖创设情境 导入新课〗

【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受到平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，G分解。

即：GF1F2,GF1F2叫做把重力类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1e1和2e2，使a1e12e2。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x轴和y轴上分别取两个单位向量i和j，则ij，且i,j可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a在基底i,j下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对x,y来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立一一对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理y基础之上来探讨这个问题。（板书课题：平面向量的坐标运算）

【问题】如图所示：（1）写出A、B两点的坐标；

（2）若ij1，以向量i,j为基底表示向量a。

4321jiB【交流】（1）A2,1,B4,4；

（2）a2i3j。

aA1234x【猜想】2,3为a的坐标。

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O

教案 必修4 第二章 平面向量 〖合作交流 解读探究〗

1、平面向量的坐标表示：

一般地，在平面直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基向量（i,j为一个单位正交基底）（单位正交基底：ij1，且ij）。由平面向量基本定理知，对于平面内的任一向量a，有且只有一对实数x,y使得：axiyj。

我们把有序实数对x,y叫做向量a的（直角）坐标，记作：ax,y。其中x叫做a在x轴上的坐标（横坐标），y叫做a在y轴上的坐标（纵坐标），ax,y叫做向量a的坐标表示。如图（1）

y

a

yj

xi

j

xOi

图(1)yyjxiyjbyaxia=byjaxiA(x,y)jOxi图(2)jOxi图(3)【说明】（1）设i,j是平面上的一个单位正交基底，则：

axiyjax,y；

（2）平面内的每一个向量的坐标是唯一的。

（3）i1,0,j0,1,00,0；

（4）两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等。即：

若ax1,y1,bx2,y2，则abx1,y1x2,y2；如图（2）

（5）相等的向量的坐标相等，但它们起点和终点的坐标可以对应不同。

（6）若OAa，则ax,yOAx,yAx,y。即：起点在原点的向量的坐标与其终点的坐标相同。由此可知：在平面直角坐标系内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。如图（3）

（7）注意区分点的坐标的记法与向量的坐标的记法：点的坐标的记法是表示点的大写字母后面直接跟点的坐标，如点Ax,y；向量的坐标的记法是表示向量的字母和其坐标之间用等号连接。如向量ax,y。

【例1】课本P96 例2 【思考】已知ax1,y1,bx2,y2，你能得出ab,ab,a的坐标吗？

2、平面向量的坐标运算：

（1）若ax1,y1,bx2,y2，则：

①abx1x2,y1y2；

②ax1,y1；

③abx1x2,y1y2。

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教案 必修4 第二章 平面向量 【证明】ax1,y1,bx2,y2,ax1iy1j,bx2iy2j,



axiyjxiyj,

abxiyjxiyjxxiyyj,

abx1iy1jx2iy2jx1x2iy1y2j,111111221212abx1x2,y1y2,ax1,y1,

abx1x2,y1y2。【例2】课本P96 例4 【练习1】课本P100 练习1、2 （2）若Ax1,y1,Bx2,y2，则：ABx2x1,y2y1。

【证明】如图，

【例3】课本P97 例5 【练习3】已知A3,2、B5,4、C6,7，求以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐

标。

Ax1,y1,Bx2,y2,OAx1,y1,OBx2,y2,

yB(x2,y2)A(x1,y1)j ABOBOAx2,y2x1,y1x2x1,y2y1。

Oxi【练习2】课本P100 练习3 〖应用迁移 巩固提高〗

题型一：平面向量的坐标表示及运算

AC、ABAC、ABAC、2AB【例1】（1）已知平面上三个点A4,6、B7,5、C1,8，求AB、 （2）已知a1,2,b3,4，求ab,ab,3a4b的坐标。

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1AC。

2

教案 必修4 第二章 平面向量 【变式1】已知a1,2,b2,1，求：（1）2a3b；（2）a3b；（3）

11ab。

23题型二：平面向量坐标的应用

【例2】已知点A2,3,B5,4,C7,10，若第三象限的点P满足APABAC，求实数的取值

范围。

34AB,BDBA，求C,D,CD的坐标。

23（2）已知点O0,0,A1,2,B4,5及OPOAtAB，求：

①t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

②四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

【变式2】（1）已知A2,4、B4,6，如果AC

题型三：平面向量坐标的综合应用

【例3】（1）已知a2,3,b3,1,c10,4，试用a,b表示c。

（2）如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量法证明：

PAEF。

【变式3】（1）已知a10,5,b3,2,c2,2，试用a,b表示c。

yABPDFCExAC为一组基底来表示ADBD

（2）已知A1,2、B2,1、C3,2、D2,3，以AB、 CD

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教案 必修4 第二章 平面向量 〖当堂检测 随堂巩固〗

1、设平面向量a3,5,b2,1，则a2b等于（ ）

A.7,3 B.7,7 C.1,7 D.1,3

12、已知向量OA3,2,OB5,1，则向量AB的坐标是（ ）

211A.4, B.4, C.8,1 D.8,1

223、已知四边形ABCD的三个顶点A0,2、B1,2、C3,1，且BCA2D，则顶点D的坐标为（ ）

17A.2, B.2, C.3,2 D.1,3

224、已知向量a2,3,b1,2,p9,4，若pmanb，则mn 。

〖总结反思 拓展延伸〗

1、在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系。关系图如图所示：

2、向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同。当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同。

3、向量坐标形式的运算时，要牢记公式，细心计算，防止符号错误。

〖课后检测 信息反馈〗

1、课本P101 习题2.3A组 1、2、3、4 B组 1 2、课时活页规范训练

〖板书设计〗

【教学反思】

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教案 必修4 第二章 平面向量 【课时活页规范训练】

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