1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）优质课一等奖

§1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

（第3课时）

勾股定理

教学目标：

（1）掌握勾股定理；

（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图

（3）了解有关勾股定理的历史. （4）在定理的证明中培养学生的拼图能力；

（5）通过问题的解决，提高学生的运算能力

（6）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（7）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育．

教学重点：勾股定理及其应用 教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索. 教学过程：

一、新课背景知识复习

（1）三角形的三边关系

（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？

二、定理的获得

让学生用文字语言将上述问题表述出来．

勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方 强调说明：

（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）

三、定理的证明方法

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明

由此得到直角三角形的性质定理：

直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方。

a2b2c2

四.定理的应用

例1、

如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm,BC=10cm,ADBC 于点D。你能算出BC边上的高AD的长吗？

学生练习， 指名板书后，师生集体讲评。

练习：

已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝900

，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.

解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有

∴又

∠2＝∠C

∴CD的长是2.4cm P11练习题

五、课堂小结：

（1）勾股定理的内容

（2）勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边

已知直角三角形的一边，求另两边的关系

六、作业布置

P16 习题1.2A组 1、2、3 课后反思：

§1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

（第4课时）

勾股定理的应用

教学目标：

1、准确运用勾股定理及逆定理．

2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．

3、培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用 教学重点：掌握勾股定理及其逆定理

教学难点：正确运用勾股定理及其逆定理．

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索. 教学准备：

教师准备：直尺、圆规

学过程：

一、创设情境，激发兴趣

（1）教师道白：在一棵树的l0m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如果两只

教

猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？

评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m,且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．

教师提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．

解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CA CA=30－x，BC=l0＋x在RtnABC2中AC2AB2BC2AC' =AB' +BC 即30x2010x 解之x=5 22所以树高为15m. （2）“动脑筋”：P12如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C｀处。那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？

二、范例学习

例2：（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸适与岸齐。问水深，葭长各几何？意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺。如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面。问水深与芦苇长各为多少？

画出水池截面示意图，引导学生分析，求出水池深度和芦苇的长度。

学生练习，师巡视，发现问题及时讲解。

三、巩固练习

P13练习题：第1、2题

四、课堂小结

此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离间题，一般是化空间问题为平面问题来解决．即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则何题来解决．解题中，注意辅助线的使用．特别是“经验辅助线”的使用．

五、布置作业

P17 习题A组4、 5、6 六、课后延伸

如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）

从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）

画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，

使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．

教师分析

只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．

解（1）

图1中AB长度为22．

（2）

图2中△ABC、

△ABD就是所要画的等腰三角形．

例如图，已知CD＝6m， AD＝8m，

∠ADC＝90°， BC＝24m， AB＝26m．求图中阴影部分的面积．

教师分析：课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上S阴=SABC－SACD，现在只要明确怎样计算SABC和SACD了。

解 在Rt△ADC中，

AC＝AD＋CD＝6＋8＝100（勾股定理），

∴ AC＝10m．

∵ AC＋BC＝10＋24＝676＝AB

∴

△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形），∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×10×24－1/2×6×8＝96（m）．

评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”，二是求面积中，要注意其特殊性. 七、课后反思：

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