4.1.1变量与函数教学实录及点评

典案一

教学设计

课题

4.1.1

变量与函数

授课人

1.初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．

2．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．

3．初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系，并根据函数关系求对应的函数值.

数学思考

问题解决

培养学生学会用函数的思想去考虑问题的能力.

通过实例引导学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例中抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.

1.从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣．

2．学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.

教学

从变量中体会函数的概念及求函数值的方法.

重点

教学

1.怎样求函数模型．

难点

2．准确理解函数的一一对应性.

授课

类型

教具

教学

步骤

新授课

多媒体

教学活动

师生活动

设计意图

课时

知识技能

教

学

目

标

情感态度

用心

爱心

专心

1

(续表) 活动

【课堂引入】

一：

我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变创设

宇宙中的运动这一问题，情境

化，再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增导入

长．这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高新课

度，年龄与时间，这一节课，我们就来研究类似的两个量之间的关系．

【探究1】

常量、变量的概念

教学过程利用教材P110中的“动脑筋”，针对三种类型的问题，分析常量与变量之间的关系．

活动

归纳：常量是取值固定不变的量．变量是取值会发生变化的量．

二：

【探究2】

函数的概念

实践

见教材P111. 探究

函数：如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都交流

有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作y＝f(x)．这时新知

把x叫作自变量，把y叫作因变量．

函数值：对于自变量x取的每一个值，因变量y的对应值称为函数值，记作f(x)．

应用：见教材P111中的“说一说”．

【应用举例】

例1

[教材P111例1]

如图4－1－2，已知圆柱的是4 cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数．

图4－1－2 (1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围．

(2)当r＝5，10时，V是多少(结果保留π)? 变式一

明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是(B) 活动

A．明明

B．电话费

C．时间

D．爷爷

180°，这个表三：

变式二

n边形内角和α与边数之间的关系是α＝(n－2)·开放

达式中的变量是__n__，常量(不变的量)是__2，180°__．

训练

变式三

写出下列各问题中的表达式中的常量与变量：

体现

(1)时针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的应用

表达式n＝6t；

(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的表达式s＝40t. 解：(1)常量：6；变量：n，t.

(2)常量：40；变量：s，t. 变式四

父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低．”并给小明出示了下面的表格．

距离地面高度(千米) 温度( ℃)

从日常生活中发生的事例入手，从而引出常量与变量.

让学生明确常量和变量的概念，进而弄清函数及其相关概念，从其对应关系中体现函数的一一对应性.

高由通过训练的形式，加深对概念的理解，同时强调针对实际问题从变化的角度去分析与看待问题，从而明确解决问题的方法和应该注意的方面. 0 20 1 14 2 8 3 2 4 －4 5 －10

用心

爱心

专心

2

(续表) 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你帮小明解答．

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？

(3)你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？

(4)你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？

解：(1)上表反映了温度和距离地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．(2)由表可知，每上升1千米，温度降低6摄氏度，可得表达式为t＝20－6h.(3)由表可知，距离地面5千米时，温度为零下10摄氏度．(4)h＝6代入t＝20－6h，可得t＝20－6×6＝－16. 【拓展提升】

例2

一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：

时间(秒) 速度(米/秒) 1 0.3 2 1.3 3 2.8 4 4.9 5 7.6 6 11.0 7 14.1 8 18.4 9 24.2 10 28.9

在变式训练中，利用两个变量之间的关系进一步全面巩固所学的函数知识，并通过其熟练运用所学知识.

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？

活动

(3)当t每增加1秒，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟，v的增加最大？

三：

(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这开放

辆小汽车的速度就将达到这个上限. 训练

解：(1)上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)体现

如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是v随着t的应用

增大而增大．(3)当t每增加1秒，v的变化情况不相同，在第9秒时，v的增加120×1000100最大．(4)＝≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.736003＞4.4，所以估计大约还需1秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限. 例3

如图4－1－3所示，用长为20的铁丝焊接成一个长方形，设长方形的一边为x，面积为y，随着x的变化，y的值也随之变化. 从变量、常量、列函数表达式与求函数值三个角度去全面深入应用，针对生活中的实际问题，为学生应用函数知识打下基础.

图4－1－3 (1)写出y与x之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)用表格表示当x从1变化到9时(每次增加1)，y的相应值. x y 1

2

3

4

5

6

7

8

9

(3)当x为何值时，y的值最大？

解：(1)y＝(20÷2－x)·x＝(10－x)·x＝10x－x2；x是自变量，y是因变量．(2)所填数值依次为：9，16，21，24，25，24，21，16，9.(3)由(2)可以看出：当x为5时，y的值最大.

用心

爱心

专心

3

(续表) 当堂训练：P112练习T1，T2. 作业布置：P116习题4.1A组T1. 【知识网络】

当堂检测，及时反馈教学效果.

形成知识结构网，便于教学归纳、学生总结.

【教学反思】

活动

①[授课流程反思]

四：

导入以教材实际为范本，从函数的三种表示方法入手，突出自变课堂

量与函数之间的关系及最佳表达方式．

总结

②[讲授效果反思] 反思

教学中讲练结合，突出重点，把握了学生对于函数概念的全面认反思教学得失，形识与综合理解，使得函数的表达方式更加全面，使学生学习的知成教学体系，让老识更加丰富．

③[师生互动反思] 学生把握了对于常量、变量的理解，突出了函数表达式掌握的要点，在函数表达式的表达中，针对自变量的取值范围的确定，在教学中还需加强，还需要不断强调．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

典案二

导学设计

师在以后教学中更能抓住重点，有针对性地教学. 4.1函数和它的表示法（1）

【学习目标】

⑴通过学习探索具体问题中的数量关系和变化规律,弄清常量和变量的意义. ⑵读懂函数的意义,能举出函数实例. 【重点难点】

重点：探索具体问题中的数量关系和变化规律,能说出实例中常量和变量以及函数的意义. 难点： 。

【知识回顾】

1.一辆汽车以60km/h的速度在张桑公路上行驶，它行驶的路程S(km)与时间t(h)的关系用公式表示为： 。

2.某城市居民用的天然气1立方米收费1.7元,使用x立方米天然气应缴纳的费用y(元)用用心

爱心

专心

4

公式表示为: .

【定向学习】

阅读教材，并完成下列练习：

⑴在△ABC中,它的一边长是a,这边上的高是h,则△ABC的面积S1ah,当a为定长2时在等式中哪个是变量? 哪个是常量(或常数)?

⑵判断下列关系是不是函数关系

①长方形的宽一定时,其长和面积; ②某人的年龄和身高; ③等腰三角形的底边长和面积; ④关系式yx中的x与y,

【归纳整理】

【检测训练】

1.基础达标：

⑴、下列关系式中,哪些是函数关系？哪些不是? ①y2x23x1 ②yx2 ③yx

④y2x 用心

爱心

专心

5

⑤yx2 ⑥yx1

2x3答:_____________(用序号表示). ⑵、分别写出下列函数的关系式,并确定自变量的取值范围. ①汽车在60km/h的匀速运动中,所行驶路程S(km)与时间t(h)的函数关系式;

②等腰直角三角形的面积S与直角边的函数关系式;

③假设民用电的收费标准为0.52元/度,电费y(元)与用电度数x(度)的函数关系式;

④多边形的内角和与边数n的函数关系式;

⑶、已知函数y2x4; x3①当x1,1时.求函数的值;

②当y1,1时,求x的值

33

2.能力提升：

⑴某汽车停车场预计国庆节这天将停放大、小汽车1200辆次,该停车场收费标准为大汽车每辆次10元,小汽车每辆次5元,根据预计解答下列问题. ①写出国庆节这天停车场的收费金额y(元)与小汽车停放辆次x之间的函数关系式;

②

如果国庆节这天停放的小汽车辆次占停车辆次的80%,请你估计国庆节这天该停车场收用心

爱心

专心

6

费金额是多少?

【学后反思】

谈谈你对这节课的收获，疑惑或建议

用心

爱心

专心7

新课标(XJ)

数学

八年级下册

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