4.4 用待定系数法确定一次函数表达式优秀获奖教案

4．4

用待定系数法确定一次函数表达式

1．使学生了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数．

2．能由两个条件确定解析式或者能根据函数的图象确定一次函数的解析式．

重点

会用待定系数法确定一次函数的表达式．

难点

从图象上捕捉信息．

一、创设情境，导入新课

3复习：画出函数y＝2x，y＝－x＋3的图象．

2

(引入新课)在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题．

二、合作交流，探究新知

1.求上图中直线的函数表达式．分析与思考：

(1)图①是经过原点的直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y＝kx，将点(1，2)代入表达式得2＝k，从而确定该函数的表达式为y＝2x. (2)设图②中直线的表达式为y＝kx＋b，因为此直线经过点(0，3)，(2，0)，所以将这两个点的坐标代入表达式，可得关于k，b的二元一次方程组，从而确定了k，b的值，确定了表达式．(写出解答过程) 2．归纳总结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件．即如果有一个系数，只要利用一个点的坐标列出关于k的一元一次方程即可；如果有2个系数，则要用2个点的坐标列出关于k，b的二元一次方程组．

探究：已知：一次函数的图象经过点(0，－1)和点(1，1)，求出一次函数的解析式．

解：设一次函数的解析式为____，

把点____，____代入解析式得，





k＋b＝

，k＋b＝

，

解得，k＝____，b＝____，把k＝____，b＝____代入y＝kx＋b中，得一次函数解析式

为____．

问：通过以上各题，你能归纳出求一次函数解析式的步骤了吗？

即先设待求函数关系式(其中含有未知数系数)，再根据条件列出方程，求出未知系数，从而得到所求结果．

归纳：这种求一次函数的解析式的方法叫待定系数法，它的步骤可归纳为：“一设二列三解四还原”．

具体地说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；

二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k，b的二元一次方程组；

三解：解这个方程组，求出k，b的值；

四还原：将已求得的k，b的值再代入y＝kx＋b(k≠0)中，从而得到所要求的一次函数的解析式．

练习：已知一次函数的图象过点(－1，3)与(2，－5)，求这个函数的解析式．

教师分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键在于求出k，b的值，从已知条件列出关于的k，b解析式．

解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b，

8k＝－，3－k＋b＝3，∵直线y＝kx＋b的图象经过点(－1，3)和(2，－5)，∴解得：

2k＋b＝－5，1b＝.381∴这个一次函数的解析式为y＝－x＋. 33三、运用新知，深化理解

例1 已知一次函数经过点A(3，5)和点B(－4，－9)．

(1)求此一次函数的解析式；

(2)若点C(m，2)是该函数图象上的一点，求C点的坐标．

【分析】(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，列出关于k，b的二元一次方程组，通过解方程组求得k，b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可求得m的值．

5＝3k＋b，k＝2，解：(1)设其解析式为y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，则∴－9＝－4k＋b，b＝－1，∴其解析式为y＝2x－1；

33(2)∵点C(m，2)在函数y＝2x－1的图象上，∴2＝2m－1，∴m＝，∴点C的坐标为(，222)．

【方法总结】解答此题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下．

例2 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，如果A点的坐标为(2，0)，且OA＝OB，试求一次函数的解析式．

【分析】求出B点的坐标，根据待定系数法即可求得函数解析式．

解：∵OA＝OB，点A的坐标为(2，0)．∴点B的坐标为(0，－2)．设一次函数的解析式2k＋b＝0，k＝1，为y＝kx＋b(k≠0)，则解得∴一次函数的解析式为y＝x－2. b＝－2，b＝－2，【方法总结】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是利用所给条件得到关键点的坐标，进而求得函数解析式．

例3 已知一次函数y＝kx＋b的图象过点(1，2)，且其图象可由正比例函数y＝kx向下平移4个单位得到，求一次函数的解析式．

【分析】先把(1，2)代入y＝kx＋b得k＋b＝2，再根据y＝kx向下平移4个单位得到y＝kx＋b得到b＝－4，然后求出k的值即可．

解：把(1，2)代入y＝kx＋b得k＋b＝2，∵y＝kx向下平移4个单位得到y＝kx＋b，∴b＝－4，∴k－4＝2，解得k＝6.∴一次函数的解析式为y＝6x－4. 【方法总结】本题考查了一次函数的图象与几何变换：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象为直线，当直线平移时k不变，向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y＝kx＋b＋m. 例4 如图，A，B是分别在x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2，m)在第一象限内，直线PA交y轴于点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，S△AOP＝12. (1)求点A的坐标及m的值；

(2)求直线AP的解析式；

(3)若S△BOP＝S△DOP，求直线BD的解析式．

11【分析】(1)由于S△POA＝S△AOC＋S△COP，根据三角形面积公式得到×OA×2＋×2×2＝12，221可计算出OA＝10，则A点坐标为(－10，0)，然后再利用S△AOP＝×10×m＝12求出m；(2)2已知A点和C点坐标，可利用待定系数法确定直线AP的解析式；(3)利用三角形面积公式由245S△BOP＝S△DOP得PB＝PD，即点P为BD的中点，则可确定B点坐标为(4，0)，D点坐标为(0，)，然后利用待定系数法确定直线BD的解析式．

11解：(1)∵S△POA＝S△AOC＋S△COP，∴×OA×2＋×2×2＝12，∴OA＝10，∴A点坐标为(－2211210，0)，∵S△AOP＝×10×m＝12，∴m＝；

25－10k＋b＝0，(2)设直线AP的解析式为y＝kx＋b，把A(－10，0)，C(0，2)代入得解b＝2，1k＝，1得5∴直线AP的解析式为y＝x＋2；

5b＝2，

12(3)∵S△BOP＝S△DOP，∴PB＝PD，即点P为BD的中点，∵P点坐标为(2，)，∴B点坐标52424为(4，0)，D点坐标为(0，)，设直线BD的解析式为y＝mx＋n，把B(4，0)，D(0，)代554m＋n＝0，入得n＝，2456m＝－，5624

解得∴直线BD的解析式为y＝－x＋. 5524n＝，5【方法总结】由三角形面积公式往往与一次函数中点的坐标有关系，由面积可求出点的坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P131练习．

2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件(根据图象、表格或具体问题)求出k，b的值，从而确定函数解析式．其步骤如下：

(1)设函数表达式；

(2)根据已知条件列出有关k，b的方程；

(3)解方程，求k，b；

(4)把k，b代入表达式中，写出表达式．

六、布置作业

1．学生完成《·高效课堂》“课时作业”．

2．教材P131～132习题4.4第1～5题．