2.1多边形的外角和名师教学视频（文字实录）

第2章

四边形

2．1

多边形

第1课时

多边形的内角

1．了解多边形及其相关概念；

2．熟练运用多边形内角和公式进行简单计算．(重点)

一、情境导入

小学时我们学习过多边形，对它有了初步的了解．什么是多边形的内角，外角，对角线，如何计算对角线的条数，如何用字母表示它；三角形的内角和是180°，你想知道任意一个多边形的内角和是多少度吗？今天，我们就来探究一下多边形的内角和如何计算．

二、合作探究

探究点一：多边形及其有关概念

【类型一】

多边形的定义及概念

下列说法中，正确的有(

)

(1)三角形是边数最少的多边形；

(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；

(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角；

(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形的边数和顶点数、内角的个数都是一样的，即有n条边(或n个顶点或n个内角)就叫n边形．故(2)和(3)的说法不正确．因此，只有(1)、(4)的说法正确，故选B.

方法总结：理解多边形的概念需注意：(1)线段必须“不在同一直线上”且首尾顺次相连；(2)必须是“平面图形”；(3)n为边数，为不小于3的正整数．

【类型二】

多边形的对角线

若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为________．

解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n－3)条对角线．故n＝2(n－3)，即n＝6.故答案为6.

n（n－3）方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n－3)条对角线；②一个n边形总共有2条对角线．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：多边形的内角和

【类型一】

已知边数或对角线条数求内角和

一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？

解析：先求出多边形的边数，再根据边数来求内角和．

n（n－3）解：设这个多边形的边数为n，由题意得＝3n，所以n－3＝2×3，所以n＝9，2所以(n－2)·180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以这个多边形的内角和为1260°. n（n－3）方法总结：n边形的对角线条数为，利用对角线条数的计算方法，知道多边2形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】

已知内角和求边数

已知两个多边形的内角和为1080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．

解析：利用内角和公式，根据已知条件建立等量关系即可求解．

解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1080°.解得x＝2.故这两个多边形的边数分别是4和6. 方法总结：运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是比较常用的方法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】

少加的内角

如图所示，回答下列问题：

(1)小华是在求几边形的内角和？

(2)少加的那个内角为多少度？

解析：由多边形内角和公式(n－2)·180°知，多边形的内角和是180°的整数倍，而1125÷180的余数为45，这说明小华少加了一个135°的角．

11解：(1)因为1125÷180＝6，∴n－2≥6，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，故小华求的是44九边形的内角和；

(2)因为1125÷180的余数为45，故小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°.

【类型四】

求不规则多边形的内角和

如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．

解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题．

解：如图所示，连接BF，则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°. 方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

三、板书设计

1．多边形的定义及相关概念

n（n－3）2．多边形的对角线总条数的计算公式(n为边数) 23．多边形的内角和公式：(n－2)·180°

教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方面的能力

第2课时

多边形的外角

1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；(重点) 2．了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊；

3．多边形内角和、外角和定理的综合运用．(难点)

一、情境导入

清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步．

(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．

(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

二、合作探究

探究点一：多边形的外角和定理

【类型一】

利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度

如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为(

)

A．90°

B．180°

C．270°

D．360°

解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及多边形的外角和即可求解．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.故选D.

方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型二】

利用四边形的外角和定理解决实际问题

如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了(

)

A．60m

B．100m

C．90m

D．120m 解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90(m)．故选C.

方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用正多边形的外角和定理解题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型三】

多边形内角和与外角和定理的综合运用

下列多边形中，内角和与外角和相等的是(

) A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．八边形

解析：根据多边形的内角和为(n－2)·180°，多边形外角和为360°，∴(n－2)·180°＝360°，n＝4.故选A.

方法总结：内角和为(n－2)×180°，而外角和为定值360°，根据两者等量关系求出n值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

探究点二：四边形的不稳定性

如图，有一个四边形钢架，由4条钢管连接而成．为了使这一钢架稳固，应怎么做？

解析：钢架为四边形形状，因为四边形具有不稳定性，因此不能稳固．若用1条或2条钢管连接对角线，则把这个四边形完全转化为三角形了．而三角形具有稳定性，故钢架可以稳固，因此可以用1条或2条钢管连接对角线，从而使之保持稳固．

解：可以用1条钢管连接AC或BD，或者用2条钢管将AC、BD均连接．

方法总结：利用转化思想，把四边形转化为了三角形，随之四边形的不稳定性也转化成了三角形的稳定性．这种方法在生活、生产中经常使用．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

三、板书设计

1．任意多边形的外角和是360°

2．多边形具有不稳定性

通过学生反馈的情况，知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而在求解多边形的角的计算题，有时直接应用外角和计算会比较简单