2.1.3 相等向量与共线向量优秀获奖教案

2.1.3 相等向量与共线向量

林芝市第一中学 贾

宁

教材分析

本节内容是数学必修4 第二章

第一节的第三课，上一节介绍了向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量，本节介绍共线向量、相等向量等基本概念．本节课的教学重点是理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量；难点是从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．通过本节课的学习让学生明白向量不同于数量，它是一种新的量，在概念的理解学习上要充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质．

学情分析

学生在上一节已经学习了向量的定义、零向量、单位向量、平行向量以及向量的两种表示形式，初步认识了向量与数量的区别与联系，在此基础上本节课继续学习相等向量与共线向量的定义，通过本节课的学习使学生在自主探究和合作交流的过程中将感性认识升华到理性认识，充分加强学生对相等向量、共线向量定义的理解与应用能够

。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解相等向量、共线向量的概念．

教学目标

知识与技能：掌握相等向量、共线向量的概念。

过程与方法：能叙述相等向量、共线向量的概念，能够区分相等向量、平行向

1

量、共线向量三者的关系。

情感态度与价值观：通过对向量的学习，初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学习向量的兴趣。

教学重点:

理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量．

教学难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．

教学方法：利用几何直观让学生通过观察、比较、抽象的方式得出定义，通过练习题巩固对定义的理解。

教具准备 多媒体课件、几何画板、三角板

一）、复习引入

问题1：在数学中，什么是向量？

向量有哪几种表示？

向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

向量有两种表示方法：有向线段、小写的英文字母。

问题2：零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？

零向量：长度为0的向量。单位向量:为1个单位长度的向量叫做单位向量。

平行向量：方向相同或相反的向量。规定：零向量与任意向量平行。

【设计意图】复习回顾，便于学习新知．

【设计说明】学生回答．

二）、探究新知

探究概念

请各位同学动手画出两个向量，并思考一下问题：

1、两个向量可以比较大小吗？

不可以，因为向量既有大小又有方向。

2

2、如何区分向量？

按照向量的长度和方向。

3、归纳总结向量的分类。按照向量的长度和方向将向量分为4类。

【设计意图】主要看学生考虑问题是否全面，培养学生数学思维的严谨性．

【设计说明】让学生通过思考讨论出四种情形．

1：方向相同模相同 2：方向相同模不同

例如：

例如：

3：方向不同模相同 4：方向不同模不同

例如：

例如：

【设计意图】结合问题的分析，规定出相等向量的概念是非常自然的．

【设计说明】学生思考．

得出概念

三）、探究新知：相等向量

相等向量

定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

或a

表示： AB随堂练习：

1、如图，四边形ABCD和四边形CDFE均为平行四边形，

AE、DC相等。

试问图中哪些向量分别与向量AD、BADFCE解：ADBC,AFBE,DCFE.

【设计意图】加强学生对相等向量概念的理解．

3

【设计说明】学生口答．

探究以下问题：

1、对于同一个向量，如果不改变它的长度和方向，这个向量可以平行移动吗？

2、对于同一个向量，用有向线段表示向量时，可以任意选取向量的起点？

【设计意图】理解相等向量可以平行移动，并且用有向线段表示向量时，可以任意选取起点。

【设计说明】利用几何画板演示向量平移，学生合作探究，归纳总结．

理解概念

思考：

如图，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点o，则是否可在l上分别作出OAa，OBb,OCc.

a

b B O C A

c 【设计意图】进一步理解相等向量的概念，引入共线向量．

【设计说明】学生口答．

四）、探究新知：共线向量

共线向量的概念

定义：平行向量也叫共线向量．

表示：OA//OB或a//b

理解概念

合作探究：

4 l

1、如果非零向量AB和CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

生：四点不一定共线．

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

2、相等向量是共线向量？共线向量是相等向量？

相等向量是共线向量。共线向量不一定是相等向量。

3、共线向量是平行向量？平行向量是共线向量？ 生： 是 4、向量的平行、共线与平面几何中的平行共线是不是相同的概念？ 生： 不是

说明：避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行共线相混淆。

【设计意图】进一步理解平行向量、共线向量的概念，区别相应直线平行、共线．

【设计说明】让学生结合上图自己归纳总结．

五）典例讲解

例1：判断正误

（1）平行向量的方向一定相同。不一定 ×

（2）不相等的向量一定不平行。不一定 ×

（3）与零向量相等的向量是什么向量？零向量

（4）存在与任何向量都平行的向量？ 零向量

（5）两个非零向量相等的条件是什么？模相等且方向相同。

例2.

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分

5

B

别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量．

师生活动：师学生互动，PPT演示．

解：OACBDO

OBDCEO

OCABEDFO

A

O

F

C

D

E

【设计意图】让学生巩固相等向量与共线向量的概念．

六）随堂练习

（1）下列说法正确的是（ ）

A 零向量是0. B 长度相等的向量叫做相等向量。

C 共线向量是在一条直线上的向量。

D 方向相同或相反的非零向量是平行向量。

解析：A 错误。零向量是0。B错误 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

C 错误。

共线向量是平行向量，共线向量不一定在一条直线上。D 正确。

(2)已知a、b是任意两个向量，下列条件：1、ab;2、ab;3、a与b方向相反；4、a0或b0;5、a与b都是单位向量。其中是a与b平行的有【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基

本概念．

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【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．

解析：1、是。相等向量是共线向量。

2、不是。向量的长度相等不一定是平行向量。

3、是。方向相反的向量是平行向量。4、是。零向量与任意向量平行。

5、不是。单位向量方向是任意的。单位向量有可能是平行向量，也有可能不是平行向量。

(3)给出下列说法：1、若向量a与b同向，且ab,则ab;2、若ab，则a与b的长度相等且方向相同或相反；3、若a//b，则ab;4、若ab，则a与b不是共线向量；5、向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.其中错误的说法是本概念．

【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．

解：1、错误。两个向量不能比较大小。

2、错误。两个向量模相等，方向不一定就是相反和相同。

3、错误。两个向量共线，不一等就相等。

4、错误。两个向量不相等，也有可能共线。

【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基5、正确。零向量与任意向量共线，所以向量不共线，则两个向量一定是非零向

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量。

答案：错误的说法是：1、2、3、4。

七）、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识？学生作答：

1．知识：(1)相等向量的定义．

(1)共线向量的定义．

(3)相等向量、平行向量、共线向量三者的关系。

教师总结:

弄清相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系，并且明白平行向量、共线向量不是平面几何中的平行、共线问题．

【设计意图】进行适时小结，让学生对这次课的学习有个系统的认识，加深学习印象．

八）、布置作业 Ⅰ、

完成人教A版必修四77页，习题2.1 A组1、2. Ⅱ、课后请同学们找一找生活中的相等向量、共线向量，相互交流并记录下来。

Ⅲ、思考向量可以分为几类？

Ⅳ、阅读人教A版必修四78页《向量及向量符号的由来》

【设计意图】设计书面作业，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯。书面作业的布置，是为了巩固学习效果；课后的找一找是为了提高学习向量的兴趣，为后面向量的学习打好基础。在此基础上进一步思考向量的分类，为学习向量的运算做好知识上的准备。最后的阅读是为了拓展学生的课堂知识，积累丰富的数学文化素养。

九）、教后反思

1、本教案的亮点是相等向量、共线向量的概念是在学生已有的知识基础上，通

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过观察、思考、总结、概括，并相互进行交流得出的，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是在学生独立思考后解决的，提高了学生理解问题的能力．

2、本节课的弱项是由于时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程. 十）、板书设计

2.1.3 相等向量与共线向量

1．相等向量：长度相等且方向相同的向量

叫相等向量．

向量可以平行移动。

2．共线向量：平行向量也叫共线向量．

3.学生活动

PPT展示练习题（3）

学生板演：

解：1、错误。两个向量不能比较大小。

2、错误。两个向量模相等，方向不一定就是相反和相同。

3、错误。两个向量共线，不一等就相等。

4、错误。两个向量不相等，也有可能共线。

5、正确。零向量与任意向量共线，所以向量不共线，则两个向量一定是非零向量。

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