阅读与思考 概率与密码特级教师教学实录

12.1随机事件的概率

【考纲要求】

了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. 【基础知识】

1.事件的定义：随机事件，必然事件，不可能事件

2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近某个常数，在它附近摆动，n这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). 3.概率的性质：(由定义知,0≤m≤1,0m1) ∴

0P(A)1; n4.等可能性事件：如果一次试验中有n个可能的结果——称为基本事件，且每个基本事件出现的可能性都相等，即每个基本事件的概率都是1，这种事件叫等可能性事件. nm. n5.等可能性事件的概率：在等可能事件中,如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)【例题精讲】

例1 在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．

解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B. 从六种中随机选两种共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15种．

2(1)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝. 15(2)“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于1”的取法有1种：(0,1)；“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于2”的取法有1种：(0,2)，

1113故P(B)＝1－(＋)＝. 151515例2 据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

解：法一：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，

∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9. (2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．

∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2)．

∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，

一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，

∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)，由事件的独立性得

P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33. 法二：(1)设事件A表示“一个月内被投诉2次”，事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”．

∵P(A)＝0.1，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9. (2)同法一．

【基础精练】

1．先后抛掷三枚均匀的壹角、伍角、壹元的硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是 3511(

) A.

B. C. D.

88232．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概1123率为 (

)A. B. C. D.

32343．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是(

) 1317 A. B. C. D.

16164164．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2`，3,4. 把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有数字之和能被5整除的概率为 (

) A.1131 B. C. D.

164825．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 (

) A．对立事件 B．不可能事件

C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对

6．12件瓷器中，有10件正品，2件次品，从中任意取出3件，有以下事件：①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品．其中随机事件是________；必然事件是________；不可能事件是________(填上相应的序号)．

7．向三个相邻的军火库各投一枚炸弹．击中第一个军火库的概率是0.025，击中另两个军火库的概率各为0.1，并且只要击中一个，另两个也爆炸，则军火库爆炸的概率为________．

8．一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2，…， 10，从中任取一球，求下列事件的概率．(1)A＝{球的标号数不大于3}；(2)B＝{球的标号数是3的倍数}；(3)C＝{球的标号数为素数}．

【拓展提高】

一个口袋里共有2个红球和8个黄球，从中随机地接连取3个球，每次取一个.设{恰有一个红球}=A，{第三个球是红球}=B.求在下列条件下事件A、B的概率.（1）不返回抽样；（2）返回抽样.

12.2古典概型

【考纲要求】

1、理解古典概型及其概率计算公式.

2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 【基础知识】

1、古典概型

（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。

（2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 （3）古典概型的解题步骤；

①求出试验的总的基本事件数n；

②求出事件A所包含的基本事件数m；

③代公式P（A）=A包含的基本事件数m

总的基本事件个数n2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。

【例题精讲】

例。

盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品．

2解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有6＝36(种)不同取法．

412(1)取到的2只都是次品的情况有2＝4(种)，因而所求概率为P＝＝. 369(2)由于取到的2只中正品、次品各1只有2种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到次品，第二次取到正品，所以所求的概率为

4×22×44P＝＋＝. 36369(3)由于“取到的2只中至少有1只正品”是事件“取到的2只都是次品”的对立事件，因而所求的概率为P18＝1－＝. 99【基础精练】

1．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是 311(

)A．一定不会淋雨

B．淋雨的可能性为 C．淋雨的可能性为 D．淋雨的可能性为

424

π2．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，]的2概率是 (

) A.5175 B. C. D.

1221263．在5个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．

4．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性相同，则“小燕比小明先到校，小明又比小军先到校”的概率为__________．

5．任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是__________．

6．某考生参加一所大学自主招生考试，面试时从一道数学题，两道自然科学类题，三道社科类题中任选两道回答，且该生答对每一道数学、自然科学、社科类试题的概率依次为0.6、0.7、0.8.(1)求该考生恰好抽到两道社科类试题的概率；(2)求该考生抽到的两道题属于不同学科类并且都答对的概率．

12.3 几何概型

【考纲要求】

1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.

2、了解几何概型的意义. 【基础知识】

1、几何概型

（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

（2）特点：①结果的无限性 ②每个结果发生的等可能性

（3）几何概型的解题步骤

首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式P(A)=构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。

2、温馨提示

求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。一般与线性规划知识有联系。

【例题精讲】

13例1 在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝x＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为2

________．

3213解析：f′(x)＝x＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝x＋ax－b在[－1,1]上有且仅有221111一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－－a－b)(＋a－b)<0，则(＋a＋b)(＋a－b)>0，可化为22220≤b≤112＋a－b>012＋a＋b>00≤a≤1

0≤b≤11或＋a－b<0，212＋a＋b<00≤a≤1由线性规划知识在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组13所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f(x)＝x＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域27的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为. 8【基础精练】

1.如图所示，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为，3aa2，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是 (

) A.7555

B. C. D.

1071282.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 (

) 1311A. B. C. D.

22343．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm与81 cm之间的概率为 (

) A.1111 B. C. D.

168422214．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为 (

) 21137A. B. C. D.

42485.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为 (

) A.23211916 B. C. D.

55556.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 (

) 1113A. B. C. D.

8424

7．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．

8．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间9打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．

10

12.4互斥事件有一个发生的概率与条件概率

【考纲要求】

1、了解两个互斥事件的概率加法公式. 2、了解条件概率及其公式。

【基础知识】

一、互斥事件有一个发生的概率

（1）并事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或称和事件），记作AB（或AB). （2）交事件：如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或称积事件），记作AB（或AB). （3）互斥事件

1、互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。即AB.一般地，如果事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,,An彼此互斥。

,An中的任何P(An) 2、互斥事件的概率：如果事件A,B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)；如果事件A1,A2,两个都是互斥的，那么就说事件A1,A2,,An彼此互斥。则P(A1A2An)＝P(A1)P(A2)3．对立事件: 如果事件A,B互斥，在一次试验中，必然有一个发生的互斥事件，叫对立事件．即AB,AB为必然事件，事件A的对立事件记为A.P(AA)1P(A)1P(A)

4、互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件。两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件。

二、条件概率

1、条件概率的定义

设A和B为两个事件，且P(A)0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的概率叫A发生的条件下B发生的条件概率，记作:P(B|A),读作A发生的条件下B

发生的概率．

2、条件概率的公式

P(B|A)P(AB)n(AB). P(B|A)=

P(A)n(A)3、条件概率的性质

(1) 0≤P(A|B) ≤1 (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A) 4、温馨提示

条件概率一般有“在A已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，

发生了才能称为条件概率。

【例题精讲】

例1 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活参加人数

动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动50 次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这

40 两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望

30 E．

20 活动次数

1 2 3 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50

10 和40．

（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3．

100100222C10C50C4041（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为P．

02C10099（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知

1111C10C50C50C4050P(1)P(A)P(B)；

24C100C1009911C10C408P(2)P(C)；

2C10099的分布列：



0 1 2 P

41

9941508212．

999999350

998

99的数学期望：E0例2 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l）第1次抽到理科题的概率； (2）第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为

3n（）=A5=20. 11根据分步乘法计数原理，n (A）=A3=12 ．于是

A4

P(A)n(A)123. n()2052(2）因为 n (AB)＝A3=6 ，所以

P(AB)n(AB)63. n()2010(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概

3P(AB)101P(B|A). 32P(A)5解法2 因为 n (AB）=6 , n (A）=12 ，所以

P(B|A)P(AB)61. P(A)122【基础精练】 1．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(

) A．60%

B．30% C．10% D．50% 2．盒子中有一角、五角、一元硬币各2枚，有放回地摸出2枚硬币(每次摸出1枚)，则两枚硬币的面值相同的概率是(

) 11A. B.

3911C. D.

6123．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在车厢内相遇的概率为(

) 297A. B.

20025297C. D.

144184．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为(

) 1935A. B.

54543841C. D.

54605．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．

8、某厂生产的灯泡能用3000小时的概率为0.8，能用4500小时的概率为0.2，则已用3000小时的灯泡能用到4500小时的概率为 。

316．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，74那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

7．一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球，从中任取4个不同的球，试求红球的个数不比白球少的概率．

11．袋子里装有30个小球，其中彩球中有n(n≥2)个红球、5个蓝球、10个黄球，其余为白球．若从袋子里取13出3个都是相同颜色彩球的概率是，求红球的个数，并求从袋子中任取3个小球至少有1个是红球的概率．

406

12.5相互独立事件同时发生的概率

【考纲要求】

1、理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用. 2、了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 【基础知识】

（1）相互独立事件的概率

1．相互独立事件的定义：

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件（设A, B为两个事件，如果P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立）

若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立

2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)

一般地，如果事件A1,A2,即 P(A1A2,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P(An)．

An)P(A1)P(A2)（2）独立重复试验

1 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率kkPn(k)CnP(1P)nk．它是(1P)P展开式的第k1项

n3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生K次的概率是

nkk...,n）（k0,1,2,3．正好是二项式[(1p)p]的展开式的第k1项。所以Pn(k)Cnp(1p)nk，记作～B(n,p)，读作服从二项分布，其中n,p为参数. （3）温馨提示

1、互斥事件和相互独立事件的区别：两事件互斥是指同一次试验中不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。

2、判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验；②随机变量是否是在这n次独立重复试验中某事件发生的次数。

【例题精讲】

例1 对贮油器进行8次独立射击，若第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来．每次射击命中目标的概率为0.2，求汽油燃烧起来的概率．

解：使汽油燃起来至少需要在这8次射击中有2次命中，故其概率为：

例2 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是

，且是互相独立的，求灯亮的概率

解：证A、B、C、D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，记A与B至少有一个不闭合为事件E，则

．亮灯的概率为P，

则

．

【基础精练】

1．甲乙两名计算机人员分别独立破译某一网站的登寻密码，他们破译成功的概率分别为破译的概率为(

) 7A. 109C. 1013，，则该登寻密码被101037B.

10063D.

10042．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(

) 51696A. B.

625625192256C. D.

6256253．从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(

) 11A. B.

842123C. D.

554．在中山路上的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在中山路上行驶，则在三处都不停车的概率是(

) 2535A. B.

1925762535C. D.

576192

15．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发9生的概率P(A)是(

) 21A. B.

91812C. D.

336．设有两台自动化机床，第一台在一小时内不需要工人照看的概率为0.9，第二台在一小时内不需要工人照看的概率为0.85，那么在一小时内两台机床都不需要工人照看的概率为________．

7．2个篮球运动员在罚球时投球的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率为________________________________________________________________________．

8．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01) 9．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手4321能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选5555手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．(注：本小题结果可用分数表示)

2110．排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和.(1)前2局中B队以2∶0领先，求33最后A、B队各自获胜的概率；(2)求B队以3∶2获胜的概率．

【拓展提高】

设有两架高射炮，每一架击中飞机的概率都是0.6，试求同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少？又若一架敌机侵犯，要以0.99的概率击中它，问需要多少架高射炮？

12.6离散型随机变量及其分布列

【考纲要求】

理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 【基础知识】

1、事件的分类：在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.

2、事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m总是接近于某一个常数，在它附近摆动，n这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)（0≤P(A)≤1）；必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 3.等可能事件的概率：

（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的结果称为一个基本事件. （2）如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是1m.如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝. nn4.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

5. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

6．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

7.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

若是随机变量，ab,a,b是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型） 8. 分布列:设离散型随机变量ξ为P(xi)pi，则称表

ξ

可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率P x1

P1

x2

P2

…

…

xi

Pi

…

…

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 9. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

⑵P1+P2+…=1．

10.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kknk（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

Pn(k)Cnpq，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ

0 1 11n1Cnpq…

…

k kknkCnpq…

…

n nn0CnpqP 00nCnpq

kknk称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cn

pq＝b(k；n，p)．11.两点分布列

两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布 ( two一point distribution)，而称p=P (X = 1）为成功概率．

两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．

P0q，P1p，

0p1，pq1．

12. 超几何分布列

表示所得的分数，求X的分布列．

解：(1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率

11C2·C363P＝＝＝. 5C85628(2)X的取值为100,80,60,40. X的分布列为

X P 100

3

2880

31

5660

9

2840 1

56

【基础精练】

1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条

件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(

) A．5

B．9 C．10 D．25 2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于 (

) 222A．1 B．1± C．1－ D．1＋

222

13．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k，k＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于(

) 23115A. B. C. D.

16416164．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为

(

) A.1272721 B. C. D.

2205522055X P －1

0.5

0

1－2q 1 q2

5．若离散型随机变量X的分布列为：

X P

则常数c的值为 (

) 0

9c－c 21 3－8c

2121A.或 B. C. D．1 33336．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为(

) A.1111 B. C. D.

48241261(不计其他得分情况)，则ab的最大值为 7．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 8．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为

X P

0

1

2

9．某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设1每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响，求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X3的分布列．

1111．甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是，.现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中34目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．(1)求3次射击的人依次是甲、甲、乙的概率；(2)若射击击中目标一次得1分，否则得0分(含未射击)．用X表示乙的总得分，求X的分布列和数学期望．

11.7离散型随机变量的期望与方差

【考纲要求】

理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题. 【基础知识】

（1）随机变量的均值或数学期望

1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

…

…

P 则称

Ex1p1x2p2…xnpn… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1p2…pn，则有p1p2…pn11，E(x1x2…xn)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 nn是随机变量，则η也是随机变量，

4. 均值或期望的一个性质:若ab(a、b是常数)，ξEE(ab)aEb

5.若～B(n,p),则Enp.

（2）随机变量的方差

1. 方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，那么D＝(x1E)p1＋(x2E)p2＋…＋(xnE)2pn

称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望．

2. 标准差:D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作．

23.方差的性质：（1）D(ab)aD；

（2）若～B(n,p),则Dnp(1p)。

224、方差DX表示X对EX的平均偏离程度，DX越大，表示平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；DX越小，表示平均偏离程度越小，说明X的取值越集中稳定。

5、高中的方差公式和初中的方差公式在本质上时一致的。初中的方差公式为S1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]

n6、其它：

⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

【例题精讲】

例1 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设1评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得2一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．

(1)写出ξ的分布列；

(2)求数学期望Eξ. 解：(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30. 13155153P(ξ＝0)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝10)＝，P(ξ＝15)＝，P(ξ＝20)＝，P(ξ＝25)＝，P(ξ＝30)6432641664321＝. 6431551531(2)Eξ＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15. 326416643264

例2 在北京奥运会期间，4位志愿者计划在长城、故宫、天坛和天安门等4个景点服务，已知每位志愿者在1每个景点服务的概率都是，且他们之间不存在相互影响．

4(1)求恰有3位志愿者在长城服务的概率；

(2)设在故宫服务的志愿者人数为X，求X的概率分布列及数学期望．

由此可得X的概率分布列为

X P 0

81

2561

27

642

27

1283

3

644 1

256所以变量X的数学期望为

81272731EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1. 2566412864256