1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教案1

《简单几何体表面上的最短路径——勾股定理的应用》教学设计

桂林市第八中学数学组

宁密可

本节课是最短路径问题的延续和拓广，不但要寻找最短路径，还要计算其长度。在初中阶段，借助勾股定理进行计算求解两点之间的距离问题在中考中占有一定地位．湘教版八年级下《直角三角形》中勾股教材分析

定理是直角三角形非常重要的性质，有极其广泛的应用。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，是几何图形和数量关系之间的一座桥梁．

学生在七年级上学期学习线段相关知识时已掌握“同一平面内，两点之间，线段最短”，八年级上学期学习轴对称一章时，又接触了最短路径学情分析

问题，因此对最短路径问题有一定的理解，八年级下学习了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边有了一定的掌握。分类讨论一直都是学生觉得比较难掌握的思想方法，分类不清、分类不全是学生经常犯的错误．

教

学

目

标

知识能运用勾股定理求最短路径问题

目标

学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实能力际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透目标

数学建模的思想．

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验情感数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学，增强自信心，体现成功目标

感．

探索、发现立体图形展开成平面图形各种途径，利用勾股定理求最短路径问题．

利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，利用勾股定理，解决实际问题．

教学重点

教学难点

教学过程

教学环节

教学内容

教学活动

学生活动

设计意图

复习

引导学生体验两点之间线段1、

实场情境：请一名学生走到我的跟最短的知前，感知两点之间线段最短。

识.

1 学生体验帮助学生两点之间回顾旧知并学以致线段最短用。

的知识．

探究

以及立体4cm，

一只蚂蚁从底端点A出发，.沿着圆图形的侧柱的侧面爬行到顶端点A相对的点B，则面展开，蚂蚁爬行的最短路程是

. （π取3）

利用勾股定理计算三角形的

B 边长.

A

试一试1：如图，圆柱高4cm，底面半径

1cm，

BC是上底面的直径．一只蚂蚁从

点B的竖直下方距离地面1cm处A出发，

沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行

的最短路程是_____

C B

通过变式把问题层A 层递进，

引导立体图形上的变式一：把圆柱体变为长方体

最短距离问题如何如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm解决？

问题情境:如图圆柱高8cm，底面直径和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体

木块的一个顶点A处，沿着长方体的侧面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是______

引导学生寻找关键点．

引导学生根据不同的条件选择不同的路径．

引导学生

变式三：把侧面变为表面

2

学生体验由有趣的和勾股定实际问题理的知识引入，激和应用。

发学生学习兴趣.

启发学生

把立体图学生审形展开成题，思考平面图并作答

形，并用平面图形指明圆柱的知识来体的数量解决立体和展开图图形中最上的数量短距离问之间一一题．注重路径的多对应关样性，渗系，以及透分类讨如何利用论思想．

勾股定理使学生体进行计算

会数学上

的转化思想．

通过先寻

找“关键点”，再

找到不同

路径，最

如图一块长，宽，高分别是6cm，4cm和思考最短3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是______

试一试2：如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为______

试一试3：如图，长方体的长为15 cm，宽为

10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点

A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

5C20

AB

1510

终在直角三角形内距离怎么利用勾股体现．怎样计算最短计算最短距离这一距离？

过程，使

学生再次

领悟任何引导学生一个几何图形都是展开长方由基本元体的侧素“点”，面，观察“线”，需要展开“面”构长方体哪成，回归在教师几何的本几个面可引导下，真！

以达到目学生对

的？

六种展在圆柱体

开方式的基础上

分析排提升难引导学生度，变为思考长方除，最终长方体，体为什么归纳出引导学生长方体有三种方由浅入六种展开式计算深，认识方式？比较得到要解决（长，宽，出最短立体图形高的组距离．

上的最短合），为路径问题

什么排除一定要将

后只有三其展

种？（重开．渗透

复）

转化、分

类讨论、

数学建模

的思想．

正方体是通过变式

特殊的长与练习相

方体，至少互交叉，

需要展开几个面？

促进对新知的理解

与巩固．

．

通过试一试引导学生加深对

3

不同要求展开的不同情况。

拓展1：如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

拓展2：

拓展

如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是_________

A 203 2 B

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