2.1多边形的概念及内角和教学设计第一课时

课题

知识技能

2.1.1

多边形的内角

授课人

1.能正确识别多边形、多边形的顶点、边、内角、对角线及正多边形等概念；

2．探索、归纳多边形内角和公式，并能应用于解决计算问题.

通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.

渗透类比和转化的思想，体验探索、归纳的过程，学会合情推理的数学思想方法，培养学生合作交流的能力.

1.让学生学会用类比、转化的手段解决问题，培养学生主动参与、合作交流的良好学习习惯；

2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法；

3．通过探索多边形的内角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题.

数学思考

教

学

目

标

问题解决

情感态度

教学

多边形内角和公式的推导.

重点

教学

如何把多边形转化成三角形，用分割法推导多边形的内角和定理.

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

回顾

新授课

课时

直尺、三角板、剪刀、正方形纸片(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

设计意图

1.三角形、长方形、正方形的内角和分别是多少？

回顾所学知识，为下面的讲2．长方形、正方形的一条对角线将这个图形分成解服务.

几个三角形？

【课堂引入】

活动

观察如图6所示的几何图形，它们各是由几条边一：

组成的？

创设

情境

导入

图6 新课

[答案：4，5，8]

【探究1】

多边形及正多边形的概念

活动

二：

实践

探究

交流

新知

边形．

图7 (1)观察下面的物体，找出熟知的图形：

通过对图形的了解，让学生从形状和边数上对多边形做出整体认识. 让学生分组讨论、交流，鼓励学生用多样化的方法探讨，从认识思路上做出合理的引导，鼓励

学生通过动手、动脑、交流，得出多边形的内角和公式，在解决问题的过程中感受成功的喜1 得出概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多

(2)多边形相关的概念：边、顶点、对角线、内角，以及凸多边形的概念．

悦．

从图8中任选一个，说出它的边、顶点、内角、对角线．

在多边形内角和的探究活动中，引导学生把四边形分割成三角形，从而把四边形的内角和与三角形的内角和有效地

图8 (从表示法、顶点、内角、对角线提出概念，具体教学方法采用下图说明) 联系起来，求出任意四边形的内角和．

在探究n边形的内角和时，逐步增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化的思想方法的理解，体会由简单到复杂、由特殊

图9 (3)提问：如果一个多边形的每个内角，每一条边都相等，那么这样的多边形是什么特殊的多边形？如图10.

图10 (归纳：各边及各内角都相等的多边形才是正多边形，只是各内角相等或各边相等的多边形不一定是正多边形，要求学生通过画图去说明．) 【探究2】

探究多边形的内角和公式

问题1：我们已经知道正方形和长方形的内角和为360°，那么任意四边形的内角和是多少度？你是怎么得到的？

在学生独立思考的基础上，分组交流，并汇总解决问题的方法：

做法①：测量法．量出任意一个四边形每个内角的度数，然后相加．

(让学生明确使用这种做法的缺陷是往往会引起误差，得不到预想的结果) 做法②：拼图法．把四个角拼在一起刚好是一个周角360°. (让学生明确使用这种做法的局限性，不是任何情况下都可以采用这种办法验证四边形的内角和) 到一般的思想方法，进一步发展学生的推理能力和语言表达能力.

教师在做法②的基础上引导学生利用作辅助线的方法，作四边形的一条对角线，把一个四边形分割成两个三角形，则四边形的内角和为2×180°＝活动

360°. 二：

问题2：探索五边形、六边形、七边形的内角和．

实践

学生先独立思考每个问题，再分组讨论．

探究

关注：①学生能否类比四边形的内角和的推导方法得出正确的结论；②学交流

生能否采用不同的方法得出正确的结论．

新知

学生分组讨论后进行交流(求五边形的内角和)．

A．把五边形分成三个三角形，3个180°的和是540°. B．把五边形分成一个三角形和一个四边形，然后用180°加上360°，结

让学生分组讨论、交流，鼓励学生用多样化的方法探讨，从认识思路上做出合理的引导，鼓励学生通过动手、动脑、交流，得出多边形的内角和公式，在解决问题的过程中感受成功的喜悦．

在多边形内角和的探究

2

果得540°. 交流得到五边形的内角和之后，同学们又认真地讨论起六边形、七边形的内角和．类比四边形、五边形的内角和的推导方法最终得出结论，六边形的内角和是720°，七边形的内角和是900°. 思考：①多边形内角和与三角形内角和的关系；

②多边形的边数与内角和的关系；

③从多边形一个顶点引出的对角线将多边形分成的三角形的个数与多边形边数的关系．

(对思考题进行讨论，并把讨论后的结果进行交流) 发现1：四边形的内角和是(4－2)个180°的和，五边形的内角和是(5－2)个180°的和，六边形的内角和是(6－2)个180°的和，七边形的内角和是(7－2)个180°的和．

发现2：多边形的边数每增加1，内角和增加180°. 发现3：从五边形的一个顶点出发，可以引(5－3)条对角线，将五边形分成(5－2)个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引(6－3)条对角线，将六边形分成(6－2)个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引(n－3)条对角线，将n边形分成(n－2)个三角形．

得出结论：多边形内角和公式：(n－2)·180°. 【应用举例】

例1

[教材P36例1] (1)十边形的内角和是多少度？

(2)一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？

变式一

(条件结论互换)[来宾中考]

如果一个多边形的内角和是720°，活动

那么这个多边形是(C) 三：

A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．七边形

开放

变式二

(转化为正多边形的应用)[呼伦贝尔中考]

一个多边形的每个内角训练

均为108°，则这个多边形是(C) 体现

A．七边形

B．六边形

C．五边形

D．四边形

应用

变式三

在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．

解：设∠A＝x，则∠B＝x＋20°，∠C＝2x.由四边形内角和定理，得x＋(x＋20°)＋2x＋60°＝360°，解得x＝70°.∴∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°. 活动中，引导学生把四边形分割成三角形，从而把四边形的内角和与三角形的内角和有效地联系起来，求出任意四边形的内角和．

在探究n边形的内角和时，逐步增加图形的复杂性，再一次经历转化的过程，加深对转化的思想方法的理解，体会由简单到复杂、由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的推理能力和语言表达能力.

从不同的角度、不同的题型去应用多边形的内角和公式，让知识得到深化. (续表) 【拓展提升】

活动

三：

开放

训练

体现

应用

例2

把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(A) A．六边形

B．五边形

C．四边形

D．三角形

例3

[重庆校级模拟]

一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为(A) A．1440°

B．1296°

C．1152°

D．1584°

例4

如图11，将一个六边形的纸片ABCDEF剪去一个角∠BGD后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝430°，则∠BGD＝(B) 变化题型结构，从已知边数求内角和及已知内角和求边数等角度去全面应用多边形内角和公式，深化教学知识，开拓学生视野.

3

图11 A.60°

B．70°

C．80°

D．90°

[解析] ∵六边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，且∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝430°，∴∠GBC＋∠C＋∠CDG＝720°－430°＝290°，∴∠G＝360°－(∠GBC＋∠C＋∠CDG)＝70°. 例5

[平定县一模]

如图12，在正六边形ABCDEF的外侧作正方形EFGH，则∠DFH的度数为__75°__．

图12 [解析] 观察图形可知，△EFH是等腰直角三角形，则∠EFH＝45°.△DEF是等腰三角形．∵∠DEF＝120°，∴∠EFD＝(180°－120°)÷2＝30°，∴∠DFH＝45°＋30°＝75°.

当堂训练：P36练习T1，T2. 作业布置：P39习题2.1A组T1，B组T5，T6(1)，T7. 【知识网络】

活动

四：

课堂

总结

反思

框架图式总结，更容易形成知识网络.

当堂检测，及时反馈学习效果.

【教学反思】

①[授课流程反思]

课堂引入采用与实际生活贴近的几何图形展示，突出多边形的实活动

用性与普遍性，为我们在学习的思想认识上留下良好的印象，同四：

时在教学中采用三角形、四边形相结合，类比学习的思想方法，课堂

起到抛砖引玉的学习效果，为我们学习的方法做出引导．

总结

②[讲授效果反思] 反思

教学围绕多边形展开，主要就多边形的内角和公式推理证明发散，重点在其应用上，我们结合教材知识，在应用的基础上进行拓展延伸、发散，紧密联系三角形内角和、四边形对角线等知识，使

通过反思，提升教师的教学水平，增强教学能力，锻炼开拓意识，全面掌握学生学习发展动态，为更好的教学打下基础. 4

得本课内容更加丰富，梯度更高、难度更大．

③[师生互动反思] 在证明多边形内角和的时候，师生互动性强，突出表现了学生的探究能力，教师起到了辅助作用，使得本节课上得生动活泼、有趣，让学生学有所得．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

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