4.2 一次函数教案评析

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

知识技能

教

学

目

标

数学思考

问题解决

4.2

一次函数

1.理解并掌握一次函数表达式的特点及意义．

2．能根据所给条件写出简单的一次函数表达式．

3．让学生区别一次函数与正比例函数.

培养学生针对数学问题建立函数等式的能力.

让学生经历从实际问题中概括出函数模型的过程，提炼出解决问题的实质.

经历一般规律的探索过程，从结构形式上去培养学生的辨别分析能力，体会数学式子蕴含的数学道理和应用价值，让学生树立学习的信心. 教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

1.理解一次函数和正比例函数的概念．

2．通过列一次函数或正比例函数的表达式去解决实际问题.

能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.

新授课

课时

授课人

情感态度

直尺、三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

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1

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数学

八年级下册

(续表) 教学活动

教学

步骤

1如x－4等．

22．函数的三种表示法：图象法，列表法，公式法．

3．函数的公式表示法就是用数学式子表示函数的方法，如y＝5x－4等. 活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

采用教材P118的“动脑筋”中的两个问题引出．

(注意列函数表达式时，让学生在做完之后，比较两个式子的共同之处与不同之处，从中发现规律) 通过两个式子的对比，让学生从数学式子中总结规律，提炼出一次函数模型及概念.

师生活动

1.一次式：含有一个未知数且未知数的次数是1的式子，回顾本节课的有关知识，为理解性记忆一次函数模型打下基础.

设计意图

回顾

活动

二：

实践

探究

交流

新知

【探究】

正比例函数和一次函数的概念

“动脑筋”的两个问题中的函数表达式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k，b是常数，k≠0. 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)叫正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．

注意：在列函数表达式的时候，一般要注明自变量的取值范围．

在实际问题中，利用函数表达式表示两个变量的关系．由两个实际问题列出两个函数表达式，通过观察，总结出一次函数和正比例函数的一般形式.

【应用举例】

例1

下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又活动

三：

开放

训练

体现

应用

属于正比例函数？

(1)面积为10 cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；

(2)长为8(cm)的长方形的周长L(cm)与宽b(cm)；

(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤

y吨；

(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s(千米)和时间t(时)．

[分析] 确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的表达式经过整理后是否符合y＝kx＋b(k≠0)或y＝kx(k≠0)的形式，所以此题必须先写出函数表达式后解答.

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2

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数学

八年级下册

(续表) 解：(1)a＝20，不是一次函数． (2)L＝2b＋16，L是b的一次函数．

h(3)y＝120－5x，y是x的一次函数．

(4)s＝40t，s既是t的一次函数又是正比例函数．

例2

已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．

1解：若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数，则2k＋1＝0，即k＝－.若y＝(k－22)x＋2k＋1是一次函数，则k－2≠0，即k≠2. 气温下降6 ℃.某时刻，若甲地地面气温为20 ℃，设高出地面x(km)处的气温为y(℃)．

(1)求y(℃)随x(km)而变化的函数表达式；

(2)若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，求飞机离地面的高度．

解：(1)高出地面的高度x(km)是自变量，高出地面x km处的气温y(℃)是x的函数，它们之间的数量关系为甲地高出地面x km处的气温＝地面气温－下降活动

三：

开放

训练

体现

应用

的气温，即y＝20－6x.

(2)当y＝－34时，即20－6x＝－34，解得x＝9.

答：此时飞机离地面的高度为9 km. 【拓展提升】

例4

若函数y＝(m2－4)x2＋(m＋2)x(m为常数)是一次函数，则m＝__2__．

[解析] 由题意，得m＋2≠0，m2－4＝0，解得m＝2. 例5

已知函数y＝(5m－3)x2n＋(m＋n)．

－

补充例题，扩大知识视野，实现正比例函数与一次函数之间的对比练习，让学生明确一数之间的区别与联系，同时也在函数的表达式上进行应用，做到全面体现知识，全面应用知识.

例3

[教材P119例]

科学研究发现，海平面以上10 km以内，海拔每升高1 km，次函数与正比例函(1)当m，n为何值时，函数y是一次函数？

(2)当m，n为何值时，函数y正比例函数？

解：(1)当函数y＝(5m－3)x2n＋(m＋n)是一次函数时，

－

加强知识的应用性与学习的交互性，让学生能全面地去了解，并深入地体会到一次函数表达式的重要性，从而让学生明白本节课的重点，突破本节课的难点. 52－n＝1，且5m－3≠0，解得n＝1，m≠.

3(2)当函数y＝(5m－3)x2n＋(m＋n)是正比例函数时，

－

例6

已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3. (1)写出y与x之间的函数表达式；

(2)y与x之间是什么函数关系；

(3)求当x＝2.5时，y的值．

解：(1)因为y与x－3成正比例，所以y＝k(x－3)．又因为当x＝4时，y＝3，所以3＝k(4－3)，解得k＝3，所以y＝3(x－3)＝3x－9.

(2)y是x的一次函数．

(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5－9＝7.5－9＝－1.5.

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八年级下册

(续表) 例7

拖拉机油箱储油60.5 L，在正常情况下，拖拉机工作1 h耗油5.5 L. 活动

(1)这台拖拉机工作t h后油箱内还剩多少升油；

6 h后油箱内的剩油三：

(2)利用(1)的结果分别计算这台拖拉机工作4.5 h，开放

量；

训练

(3)这台拖拉机最多能工作多长时间？

体现

解：(1)工作t h后油箱内还剩油(60.5－5.5t)L.

应用

(2)当t＝4.5 h时，60.5－5.5×4.5＝35.75(L)；当t＝6 h时，60.5－5.5×6＝27.5(L)．

(3)令60.5－5.5t＝0，解得t＝11.故这台拖拉机最多能工作11 h．

当堂训练：P120练习T1，T2. 作业布置：P120习题4.2A组T3，T4，B组T5，T6. 【知识网络】

简洁地归纳，便于比较两种函数之间的关系，让学生明确本节课需要解决的基本问题.

【教学反思】

①[授课流程反思]

活动

四：

课堂

总结

反思

从规律中导入，结合实际问题的应用，突出一次函数的实在性，本导入的方式能吸引学生积极学习，并诱发学生的探究热情，为突破性的解决数学问题奠定基础．

②[讲授效果反思] 本节课通过构建函数模型，引发出一次函数概念的主体，突出函数模型的特点，同时又在特殊的条件下，让学生去体会正比例函数与一次函数之间的区别与联系，本课的关键点在于让学生能正确地去确定一次函数的一般表达形式．

③[师生互动反思] 教学中突出显示了所学知识之间的区别与联系，让学生针对实际问题，在老师的正确引导下能有效地将两种函数加以细致的区别，并能顺利地根据实际问题列出相关类型的函数表达式，为后面的教学打下了良好的基础．

④[习题反思] 好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________

教学反思有益于教师自身素质的提高，同时也为自己整理教学材料，积累教学经验，弥补教学得失，作出良好的记录.

当堂检测，及时反馈教学效果，以便查漏补缺.

加强知识的应用性与学习的交互性，让学生能全面地去了解，并深入地体会到一次函数表达式的重要性，从而让学生明白本节课的重点，突破本节课的难点.

典案二

导学设计

4.2 一次函数

班级________姓名________ 一、学习目标与要求：

1、理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展数

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数学

八年级下册

学应用能力

2、经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力

二、重点与难点

重点：理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数表达式

难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展抽象思维能力

三、学习过程

复习回顾：

1、表示函数关系的方法有：___________、____________、_____________ 2、下列表示y是x的函数图象的是（

）

3、（09年宁德中考题）张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票总费用为y元，写出y与x的关系式为__________________ 自主探究：

一、在具体实例中探究一次函数和正比例函数

1、某弹簧的自然长度为3厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧的长度y增加0.5厘米. （1）计算所挂物体的质量分别为1千克、20 1 2 3 4 5 x/千克

千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，

y/厘米

并填入表格

（2）你能写出x与y之间的关系式吗？

易错点：

2、某辆汽车油箱中原有汽油100升，汽车每行驶50千米耗油9升. （1）完成表格

0 50 100 150 200 300 汽车行驶路程x/千米

（2）写出x与y之间的

油箱剩余油量y/升

关系式

3、观察上面问题中的关系式的特征，探究一次函数的概念

若两个变量x、y间的关系式可以表示为____________ （_________________）的形式，则称y是x的一次函数，特别地，当__________时，称y是x的正比例函数

二、学以致用

1、写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系：

（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系：

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八年级下册

（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度y（厘米）：

（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费y（元）：

（5）如图，甲、乙两地相距100千米，现有一列火车从乙地出发，以80千米/时的速度向丙地行驶.设x（时）表示火车行驶的时间，y（千米）表示火车与甲地的距离，x与y之间的关系：

易错点：

2、（1）已知方程3x+2y=1，把它写成y是x的一次函数的形式是_____________，当x=1时，y=______；当y=1时，x=_________ （2）若y+3与x-2成正比例，则y是x（

）

A 正比例函数

B 比例函数

C 一次函数

D 不存在函数关系

3、我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税；月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如某人月收入1960元，他应缴个人工资、薪金所得税为(1960-1600)5%=18（元）

（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式

（2）某人月收入为1760元，他应缴所得税多少元？

（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？

方法归纳：

学习小结：写一写你学到了哪些知识，掌握了哪些方法

易错点：

4.2 一次函数(二) 班级________姓名________ 一、学习目标与要求：

1、理解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展数学应用能力

2、经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力

二、重点与难点

重点：理解一次函数和正比例函数的概念；能根据所给条件写出简单的一次函数表达式

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难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展抽象思维能力

三、学习过程

各题易错点：

复习回顾：

1、一次函数及正比例函数的概念

2、在函数(1)y=(6)y=3,(2)y=x-5,(3)y=-4x,(4)y=2x2-3x,(5)y=xx-2

1中是一次函数的是

,是正比例函数的是

. x-23、若函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数,则m,n应满足的条件是

；若是正比例函数,则m,n应满足的条件是

. 4、当k=

时,函数y=(k+3)xk2-8提示：想一想正比例函-5是关于x的一次函数. 数的表达式是什么？

自主探究：

1、（1）已知y是x的正比例函数，当x= -2时，y=4，求这个正比例函数的关系式

提示：一次函数表达式中

有几个需要你确定的常量

（2）下表中，y是x的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表

x 0 1

-3 -2 -1 y 6 4

（3）根据下表写出x、y之间的一个关系式

x 0 1 2 3 -1

y 3 0 -3 -6 -9

方法归纳：

2、在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，一根弹簧不挂物体时长15厘米；所挂物体质量为3千克时，弹簧长16.8，求弹簧总长y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式

3、一水池的容积是90米3，现蓄水10米3，用水管以5米3/时的速度向水池中注水. （1）写出水池蓄水量V（米3）与进水时间t（时）之间的关系式；

（2）当t=10时，V的值是多少？

4、（1）如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度. 你能求出华氏温度y（0C）与摄氏温度x（0C）之间的函数关系吗？

（2）小明观察温度计发现，两个刻度x、y之间的关系如下表：

x/0C 10 20 25 30 根据表格，小明发现x、y成一次函0y/C 50 68 77 86 数关系，请你列出它们之间的关系式

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5、某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，没通话1分缴费0.4元. （1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式

易错点：

（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？

（3）如果该手机用户本月预交费200元，那么该用户本月可通话多长时间

6、某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分收费0.6元，按照此类收费标准，分别完成第2题中的各小题

7、根据上面第2、3题中的条件，完成下列各题

（1）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？

（2）每月通话多长时间时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？

学习小结：归纳确定一次函数关系式的一般方法

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