1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）板书设计及意图

勾 股 定 理

教学目标

1、知识与技能目标

（1）会利用面积法探索勾股定理，并验证勾股定理；

（2）掌握勾股定理，并会利用拼图验证勾股定理；

（3）能运用勾股定理解决一些实际问题。

2、过程与方法目标

（1）通过探索、验证勾股定理，提高分析问题、解决问题的能力；

（2）在学习过程中进一步体会数形结合的思想方法。

3、情感、态度与价值观目标。

通过了解勾股定理的悠久历史，感受古代中国人的伟大智慧，激发民族自豪感和自信心。

教学重点与难点

重点：勾股定理及其应用。

难点：勾股定理的探索及证明。

教学设计

一、创设情境、导入新课

思考：一棵树在一次强烈的地震中断裂，树顶落在离树根16m处，研究人员要查看断痕，需要从树底开始爬12米至断痕处，你能算出这棵古树的高度吗？

通过分析，将此问题抽象为一个与之相关的几何图形——直角三角形，为解决这个实际问题。就要用到数学史上一个十分重要的定理——勾股定理。（引入课题）

二、做一做，感受课题

1、作一个直角三角形，使它的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，如图，并量出它的斜边的长度。（学生动手画，并交流结果）

1

2、分别以所画的直角三角形三边为边在三角形的外部作正方形，那么这个正方形的面积有什么关系呢？（学生讨论，同伴交流结果）。

师生共议：以斜边为边的正方形面积恰好等于以两直角边为边的两正方形面积之和。即：3+4=5

3、是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任意Rt△ABC，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c，有abc是否成立？

三、合作交流，探索定理

教师提示：探索勾股定理的一种方法——面积法：

现有8个直角边分别为a、b，斜边长为c的全等的直角三角形和3个边长分别为a、b、c的正方形，用他们可拼成下列两个正方形：

甲 乙

甲、乙两个正方形的边长都是（a+b），从而它们的面积相等。由此得到

22222211a2b24abc24ab

22a2b2c2

勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方。

即 abc

想一想：你能不能只用图乙来得到勾股定理呢？

四、应用迁移，巩固提高

根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三条边的长。

练一练：求下列未知边χ的长：

2 222

由图4引出典故——我国周朝数学家商高便想到了“勾三、股四、弦五”。

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则

c2a2b2ca2b2

a2c2b2ac2b2

b2c2a2bc2a2

例1：如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积是 。

分析：欲求正方形的面积，关键是求得其边长，而此边长恰为直角三角形的一条直角边，运用勾股定理易求出AB的长。

解：在Rt△ABC中， AB=BC-AC=25-24=49 所以正方形的面积为AB=49 例2（思考题）一棵树在一次强烈的地震中断裂，树顶落在离树根16m处，研究人员要查看断痕，需要从树底开始爬12米至断痕外，你能算出这棵古树的高度吗？

解：在Rt△ABC中，∠C=90°

AB=AC+BC=12+16=400 ∴AB=20 例3，李大妈开垦了一块荒地，（如图所示）AC为30米，AB=40米，BD为120米，她想在荒地上种植花草，请你帮她算一下她能种植多大面积的花草？

分析：整个图形由两个直角三角形组成的，其中Rt△ABC已知两直角边，面积易求。Rt△CBD只需求得BC长即可求面积，在Rt△ABC中，利用勾股定理便可求得BC。

解：在Rt△ABC中，BC=AB+AC=40=30=2500 ， BC=50 ∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=

练习：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=8、b=15，则c= ；若a=6、c=10,则b= ；若b=10，c=26，则a= 。

3 222222222222222211403050120=3600（米2）

22

（第2题图） （第3题图） （思考题图）

2、在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13，BC=10，你能求出BC边上的高AD及△ABC的面积吗？

3、某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B240米，已知他在水中游了510米，试求河宽。

思考题：有一个圆柱，它的高等于8cm，底面半径为2cm，在图柱底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）。

五、总结反思，拓展升华

本节课全面探索了勾股定理及其简单应用，用面积法探索→勾股定理（直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c）→应用勾股这理（在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三条边的长）。

勾股定理是数形结合的典范，在解综合题中有广泛应用，特别是学习了实数运算后，应用更多。

六、作业布置

1、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，则S△ABC= 。

2、如图，图形P的面积= ，AC= ，BC= ，AB= 。

3、有两棵树相距12m，其中大树高8m，小树高3m，一只小鸟从大梢飞向小树树梢，速度为4m/s，至少要飞多少秒到达目的地？

4、一艘轮船以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘轮船在同地同时以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多远？

（选做题）将两个全等的直角三角形如图放置，连结AD，构成直角梯形，你能否用它来证明勾股定理？

树树222

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