原（逆）命题、原（逆）定理教案和课堂实录

17．2 勾股定理的逆定理（一）

主笔人：李丁丁 学习目标

：1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

学 习 过 程

一、知识回顾 预习研讨

1.勾股定理的内容是什么？ . 2. 在直角三角形中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,

∠C=90°,求下列未知边长度

命题2:如果三角形的三边长a、b、c满足a互逆命题:

+b=c

，那么这个三角形是直角三角形。

222 命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c

。

在一对命题中，第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题

的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做互逆命题．

如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做它的 ．

说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确．

1．原命题：猫有四只脚．（ ） 逆命题：有四只脚的是猫．（ ）

2．原命题：对顶角相等．（ ） 逆命题：相等的角是对顶角．（ ）

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（ ）

逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（ ）

4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（ ）

逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（ ）

明确下面问题

（1）任何一个命题都有逆命题；

（2）原命题是正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确；

P74探究证明：勾股定理的逆命题2:

222a=3,b=4,c= a=5, c=13，b= a=6,b=8,c= c=25，b=20，a= 3.你知道吗？

据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？

+b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形. 222已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a+b=c

如果三角形的三边长a、b、c满足a求证:△ ABC是直角三角形

证明:

分析：

（1）如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道

二、师生互动 掌握新知

画一画：用尺规画△ABC，使其三边长分别为 若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将

问题转化为如何判断一个角是直角。

（2）利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形

全等，使问题得以解决。

( 3)先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算

斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c满足a- 1 - 22AA'

cbb

5cm，12cm，13cm． 7 cm,24 cm,25 cm 8 cm，15 cm，17 cm 2221.这三组数都满足a+b=c吗？

2.它们都是直角三角形吗

猜想：

勾股定理的逆命题

BaCB'

aC+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

说明：

（1）一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理为互逆定理；其中一个定理称另一个定理的逆定理

（2）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；

（3）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判D5.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸，这个零件符合要求吗？

C断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．

三、达标检测,理解应用

例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=15，b=8，c=17；

（2）a=13，b=14，c=15．

三、达标检测 理解应用

1说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

(4)全等三角形的对应角相等．

2．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．

A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，15 3．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．

A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2 ，a+1 C．a-1，1 ，a+1 D．a-1， a，a+1 4.在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求此三角形的面积。

AB

四、精选作业 巩固提升

1．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2．填空题。

(1)“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。

(2)若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC是 三角形。

3．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；

⑶a=2，b=23，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）

4已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13, 求:

四边形ABCD的面积? C

B D

A

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