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二次根式全章总复习

三个概念

概念1

二次根式

1．下列各式一定是二次根式的是(

) 2．下列式子中为二次根式的是(

) 3322

a B.x＋1 C.1－x D.x＋1 A.8

B.－1 C.2 D.x(x＜0) 3.在代数式：①；②；③；④；⑤；⑥的有（

）A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

4．二次根式m13中，一定是二次根式2(m3)的值是（ ）

A．32 B．23 C．22 D．0 5.已知a为实数，下列式子一定有意义的是（

）

A.

B.

C.

D.

2 0162 0176．已知x，y为实数，且满足1＋x－(y－1)1－y＝0，那么x－y的值是多少？

概念2

代数式

21．下列式子中属于代数式的有(

)①0；②a；③x＋y＝2；④x－5；⑤2a；⑥a＋1；⑦a≠1；⑧x≤3. A．7个 B．6个 C．5个 D．4个

2．农民张大伯因病住院，手术费为a元，其他费用为b元，由于参加农村合作医疗，手术费报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此次住院共报销_________________元(用代数式表示)．

概念3

最简二次根式

131．二次根式45a，2a，8a，b，(其中a，b均大于或等于0)中，是最简二次根式的有_________3个。

2．把下列各式化成最简二次根式．

nx－y32(1)1.25； (2)4ab＋8ab(a≥0，b≥0)； (3)－2(mn＞0)； (4)(x≠y)．

mx＋y

3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？不是最简二次根式的请说明理由．

1222222241－40，8－x，22，x－4x＋4(x>2)，－x，0.75ab，ab(b>0，a>0)，9x＋16y，2x（a＋b）（a－b）(a>b>0)，

2xx，. 33

二次根式的性质

性质1 (a)2＝a(a≥0) 1，下列计算正确的是(

) A．－(7)＝－7 B．(5)＝25 C．(9)＝±9 D．－－2224929＝16

162．在实数范围内分解因式：x－9＝________．

23.要使等式(8－x)＝x－8成立，则x＝________．

性质2

a2＝a(a≥0) 221．实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则（a－4）＋（a－11）化简后为(

) A．7 B．－7C．2a－15 D．无法确定

2.若成立，则m的取值范围是__________

23．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c－4c＋4－12c－4c＋16. 4

24．先化简再求值：当a＝5时，求a＋1－2a＋a的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a＋22（1－a）＝a＋(1－a)＝1；乙的解答为：原式＝a＋（1－a）＝a＋(a－1)＝2a－1＝9. 请问谁的解答正确？请说明理由．

性质3

积的算术平方根

1．化简24的结果是( )A．46 B．26 C．62 D．83 2．能使得（3－a）（a＋1）＝3－a·a＋1成立的所有整数a的和是________．

3．若m(m3)mm3，则m的取值范围是 4.将根号外的移到根号内

；

.

性质4

商的算术平方根1．化简下列二次根式：(1)

44；

(2)9121b

2(a＜0，b＞0)．16a5

性质5。a的双重非负性 利用二次根式被开方数的非负性求字母取值范围

1．下列说法正确的是（ ）

A．若a2a，则a<0 B．若a2a,则a0 C．a4b8a2b4 D． 5的平方根是5

2．若a是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）

bA．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．3．若x5不是二次根式，则x的取值范围是 a0

b4.二次根式2x1有意义时的x的取值范围是 ，式子2x4中x的取值范围是____________________，当x满足条件______________时，式子5.式子a+有意义. 1有意义，则点P（a，b）在（ ）

abA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．若m(m3)mm3，则m的取值范围是 利用二次根式的性质化简二次根式

1.

若x≥0，那么等于（

） 2.当a≥1，则=（

）

A.

X B.－x C.－2x

D. 2x A.2a－1

B. 1－2a

C.－1

D. 1 23．化简|xy|x(xy0)的结果是（ ） 4.已知a

A．y2x B．y C．2xy D．y A．aab B．aab C．aab D．aab

1根号外的因式移到根号内，得（ ）

mA．aabB．aabC．aabD．aab A．m B．m C．m D．m

5.已知a

A．(2.5)2(2.5)2B．a2(a)2C．x8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

222A．xy0 B．3x3y0 C．x39．若a≤1，则(1a)化简后为（ ）

22x1x-1 D．x29y20 D．xy0

x3x3

A．（a－1）a1B.(1a)1aC.(a1)1aD.(1a)a1

22210．已知a，b，c为三角形的三边，则(abc)(bca)(bca)= 11．已知a<2，(a2)2 . 12.已知3

利用二次根式的性质求代数式的值 1.

2.已知yx88x18，求代数式xy2xy的值

xyxyyx

3.

的值

4.

5.、已知实数a满足

,求a－2008的值. 21.

22．若2004aa2005a，求a2004的值 3.已知|x＋y－7|＋，求x＋y的值. 22

1.

2。求代数式2x34x13的最小值

3.

4．若m适合关系式3x5y2m2x3ym

x199y199xy，求m的值．

（4）利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值

1．如果最简根式b－a3b和2b－a＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么(

) A．a＝0，b＝2

B．a＝2，b＝0

C．a＝－1，b＝1

D．a＝1，b＝－2 3a2．若最简二次根式5a＋b和2a－b能合并，则代数式－＋(3a＋2b)2的值为________．

2b3．如果最简二次根式3a－8与17－2a在二次根式加减运算中可以合并，求使4a－2x有意义的x的取值范围．

4．若m，n均为有理数，且3＋12＋

3＝m＋n3，求(m－n)2＋2n的值．

4考点三。常见二次根式化简求值的九种技巧

估算法1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．

(第1题)

公式法2．计算：(5＋6)×(52－23)．

6＋43＋32

拆项法3．计算：.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)] （6＋3）（3＋2）

n＋2＋n2－4n＋2－n2－4

换元法4．已知n＝2＋1，求＋的值．

n＋2－n2－4n＋2＋n2－4

11xy

整体代入法5．已知x＝，y＝，求＋－4的值．

yx3－223＋22

xy已知x＝2－1，y＝2＋1，求＋的值． 已知x＋y＝－8，xy＝8，求yyx

222已知a－b＝3＋2，b－c＝3－2，求2(a＋b＋c－ab－bc－ac)的值．

2＋3

因式分解法6．计算：. 2＋6＋10＋15

配方法7．若a，b为实数，且b＝3－5a＋5a－3＋15，试求

辅元法8．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求

y＋xxx的值．

yba＋＋2－abba＋－2的值．

ab的值．

x＋z＋x＋2yx＋y

先判后算法9．已知a＋b＝－6，ab＝5，求b

b＋aaa的值．

b考点4.比较二次根式大小的八种方法

平方法1．比较6＋11与14＋3的大小．

分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小．

比较2 018－2 017与2 017－2 016

11

分母有理化法4．比较与的大小．

2－33－2

倒数法6．已知x＝n＋3－n＋1，y＝n＋2－n，试比较x，y的大小．

作差法5．比较19－12与的大小．

33

作商法2．比较a＋1a＋2与的大小．

a＋2a＋3

1

特殊值法7．用“<”连接x，，x2，x(0

x3

定义法8．比较5－a与a－6的大小．

考点5运算——二次根式的运算

1.计算：(1)(33＋32)×(27－42)； (2)【中考·临沂】(3＋2－1)(3－2＋1)；

35ab3b15bc(3)÷×－2＋abc. 10c52aca

【同步练习】

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列说法正确的是（ ）

A．若a2a，则a<0 B．若a2a,则a0

C．a4b8a2b4

D．

5的平方根是5

2．二次根式m132(m3)的值是（

）

A．32

B．23

C．22

D．0 23．化简|xy|x(xy0)的结果是（

）

A．y2x

B．y

C．2xy

D．y

4．若a是二次根式，则a，b应满足的条件是（

）

bA．a，b均为非负数

B．a，b同号

C．a≥0，b>0

D．a0

b5．（2005·湖北武汉）已知a

）

A．aab

B．aab

C．aab

D．aab

6．把m1根号外的因式移到根号内，得（

）

m

A．m

B．m

C．m

D．m

7．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A．(2.5)2(2.5)2 B．a2(a)2

C．x22x1x-1 D．x29x3x3

8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（

）

2A．x2y20

B．3x3y0

C．xy20

D．xy0

9．当x3时，二次根m2x25x7式的值为5，则m等于（

）

25

C．

D．5

2510．已知x22x18x10，则x等于（

）

x2A．2

B．A．4

B．±2

C．2

D．±4 二、填空题（每小题3分，共30分）

11．若x5不是二次根式，则x的取值范围是

12．（2005·江西）已知a<2，(a2)2

13．当x=

时，二次根式x1取最小值，其最小值为

14．计算：122718

；(34842723)

315．若一个正方体的长为26cm，宽为3cm，高为2cm，则它的体积为

cm

16．若yx33x4，则xy

17．若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab

18．若m(m3)19．若x2,mm3，则m的取值范围是

133x1,则y

2431y22220．已知a，b，c为三角形的三边，则(abc)(bca)(bca)=

三、化简（前5题每小题6分，后两题每题7分，共44分）

21．

23.(6

2211841 22.(548627415)3

2x12x)3x 24.18(21)1(2)2 4x

25．已知：x

231，求xx1的值。

226．已知：y18x8x1

27、阅读下面问题：1xy,求代数式22yxxy

2的值。yx1121(21)(21)(21)32;21；

152(52)(52)1n1n132

试求：⑴32(32)(32)1765252

的值；

⑵13217的值；

⑶（n为正整数）的值。

【培优练习】

一、二次根式的非负性

21．若2004aa2005a，则a2004=_____________．

2．代数式2x34x13的最小值是_____________．

3．已知y

4．若m适合关系式3x5y2m2x3ym

二、二次根式的化简技巧

x88x18，求代数式xy2xy的值．

xyxyyxx199y199xy，求m的值．

（一）构造完全平方

2221111、由1111n(n1)12n2n112n(n1)12[]2

2222222222n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)

化简得111

22_________________n(n1)（拓展）计算1

2．化简：

11111111．

1112222222212233420032004y232y5y22y5．

3．化简6812

（二）分母有理化

1．计算：

2．分母有理化：

24．

4．化简：23664232．

1331533517557149474749的值．

226．

3．计算：23．

123235

三、二次根式的应用

（一）无理数的分割

1．设a为3535的小数部分，b为633633的小数部分，则

211的值为（

）（A）621

（B）

（C）1

（D）23

ba428

2．设

3．设1983的整数部分为a，小数部分为b，试求ab

（二）性质的应用

1．设m、x、y均为正整数，且m28

15122的整数部分为x，小数部分为y，试求xxyy的值．

2511的值

bxy，则xym

=_________．

222，y222，则（

）

（A）

xy

（B）

xy

（C）

xy

（D）

不能确定

2．设x

（三）有二次根式的代数式化简

1．已知x(x2y)

y(6x5y)，求xxyy2xxy3y的值．

2．已知x

xy3yx5y，求2xxy3yxxyy的值。

3．已知：x

8787，y8787，求：xy2xyxy的值．

12aa2a22a14．已知a，求的值．

2a1aa231

5．已知：a，b为实数，且b

a222a2a2．求2ba2ba的值．

2