复习参考题第一课时评课稿

第三节

三角函数的图象与性质

知识重温：

一：三角函数的图像与性质

三角函数

图象

正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x

xx∈R，且x

定义域

R

R

π≠kπ＋，k∈Z

2R 值域

[－1,1]

π当且仅当x＝＋2kπ(k∈2[－1,1]

当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1

最值

Z)时，取得最大值1；当且π仅当x＝－＋2kπ(k∈Z)2时，取得最小值－1

三角函数的定义域

[例1]

函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．

[解析]

要使函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x有意义，

2sin x－1＞0，则即1－2cos x≥0，

1cos x≤.21sin x＞，2

π5π解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z. 36π5π2kπ＋，2kπ＋，k∈Z. 即函数的定义域为36π5π2kπ＋，2kπ＋，k∈Z [答案]

36[方法技巧] 三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

[提醒]

解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．

三角函数的值域(最值)

求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值) πxπ[例2]

(1)函数y＝2sin6－3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(

) A．2－3

B．0

C．－1

D．－1－3 π7(2)函数y＝3－sin x－2cos2x，x∈6，6π的值域为________．

πππ7π[解析]

(1)∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，

3636ππ3x－∈－，1. ∴sin632∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3. π7π1，，∴sin x∈－，1. (2)∵x∈662171sin x－2＋，又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝2∴当sin x＝时，ymin4847＝；

81当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2. 27故该函数的值域为8，2. 7[答案]

(1)A

(2)8，2

[方法技巧] 三角函数值域或最值的三种求法

(1)直接法：直接利用sin x，cos x的值域求出．

(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题．

突破点(二)

三角函数的单调性、周期性、奇偶性

知识重温

函数

图象

最小正周期

奇偶性

y＝sin x y＝cos x y＝tan x

2π

奇函数

π2kπ－，

2π2kπ＋为增；

2π2kπ＋，

22kπ＋3π为减，k∈Z

22π

偶函数

π

奇函数

[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Z

单调性

ππkπ－，kπ＋为增，k22∈Z 对称中心

对称轴

(kπ，0)，k∈Z

πx＝kπ＋，k∈Z

2kπ＋π，0，k∈Z

2x＝kπ，k∈Z

kπ，0，k∈Z 2

考点三

三角函数的单调区间

[例3]

求下列函数的单调区间：

πx＋，x∈[0，π]；

(1)f(x)＝2sin4(2)f(x)＝|tan x|；

πππ[解]

(1)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

2423ππ即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数f(x)是增函数．

44ππ3π当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

242π5π即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，函数f(x)是减函数．

44π0，，

又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为4π单调递减区间为4，π.

πkπ，kπ＋，k∈(2)观察图象可知，y＝|tan x|的单调递增区间是2π单调递减区间是kπ－，kπ，k∈Z. 2

Z，

[方法技巧] 求三角函数单调区间的两种方法

(1)复合函数的单调性规律：同增异减

(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．

ππωx＋在，π上是减函数，则ω的取值范围是例4：已知ω>0，函数f(x)＝sin42________．

πππππππππω＋，πω＋⊆＋2kπ，[解析]

由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由题意知442222444ω＋≥＋2kπ，k∈Z，242π3π2π＋2kπ(k∈Z)且ω≥2×π－2，则2π3ππω＋4≤2＋2kπ，k∈Z，15且0＜ω≤2，故≤ω≤. 2415[答案]

2，4

考点5三角函数的周期性、奇偶性、对称性

3πx－是(

)

[例5]

（1）函数y＝1－2sin24A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

ππC．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

22所以k＝2或k＝3. [答案]

A

[方法技巧] 三角函数周期的求解方法

(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期．

(2)公式法：①三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π；2ππ②y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. |ω||ω|(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．

x＋φ（2）

若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(

) 3π2πA.

B.

233π5πC.

D.

23

πππ

x＋φφπ3π[解析]

由f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又3322φ∈[0,2π]，所以φ＝3π. 2πx－的图象的一条对称轴是(

) （3）函数f(x)＝sin4πA．x＝

4πC．x＝－

4π

B．x＝

2π

D．x＝－

2(4)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. ππ3ππ[解析]

(3)由x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，∴x4244＝－

π(4)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋(k∈Z)．

2挑战高考：

πππω>0，|φ|≤，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)244π5π的对称轴，且f(x)在18，36上单调，则ω的最大值为(

) A．11

B．9

C．7

D．5 解析：选B

由题意得ππω＋φ＝kπ＋，k∈Z，4222π－ω＋φ＝k1π，k1∈Z，4

π且|φ|≤，则ω＝2k＋1，k∈Z，2πππφ＝或φ＝－.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝444ππ3π3π5π11x－，f(x)在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，不满足f(x)在sin418444436π5πππ5ππ，上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin9x＋，满足f(x)在区间，区间4183618364上单调递减，故选B. ππ2x－中，最小正周2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan46期为π的所有函数为(

) A．①②③

C．②④

B．①③④

D．①③

解析：选A

①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝πππ2x＋，最小正周期为π；④y＝tan2x－，最小正周期为.所以最小正周期为π的所cos642

有函数为①②③，故选A. π5π3．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对44称轴，则

φ＝(

) πA.

4πC.

2πB.

33πD.

4π5π解析：选A

由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，44ππ所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又0<φ<π，所以42πφ＝. 44．已知函数

（）求 的最小值，并写出取得最小值时的自变量的集合；

（）设的值.

的内角所对的边分别为且若求

⑵ 因为所以又

所以在中,即

由正弦定理知即又

由余弦定理知

联立

解得