小结教学设计案例

§5.4

平面向量的应用

1．向量在平面几何中的应用

平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式

x1x2＋y1y2a·bcos θ＝＝2222

(θ为a与b的夹角)．

|a||b|x1＋y1x2＋y22．平面向量与其他数学知识的交汇

平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．

(

√

) (

√

) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决． (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．

→→(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．

(

√

) (

×

) →(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→→→＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.

(

√

) →→2．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为

(

) A.5

答案

C →→解析

∵AC·BD＝0，

∴AC⊥BD. 1→→∴四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD| 21＝×5×25＝5. 2

B．25

C．5

D．10 3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为

ππ2ππA.，

B.，

6336ππππC.，

D.，

3633答案

C 解析

由m⊥n得m·n＝0，即3cos A－sin A＝0，

πA＋＝0，

即2cos6ππ7ππππ∵

＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C，

ππππ所以sin C＝1，C＝，所以B＝π－－＝. 2326y→→0，，4．平面上有三个点A(－2，y)，BC(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为__________．

2答案

y2＝8x (x≠0) yy→→2，－，BC＝x，，

解析

由题意得AB＝22→→→→又AB⊥BC，∴AB·BC＝0，

yy2，－·x，＝0，化简得y2＝8x (x≠0)．

即225．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．

答案

226 m/s 解析

如图所示小船在静水中的速度为

102＋22＝226 m/s.

(

)

题型一

平面向量在平面几何中的应用

例1

如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维启迪

正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．

证明

建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<2)，

22则A(0,1)，P(λ，λ)，

2222E(1，λ)，F(λ，0)，

222222→→∴PA＝(－λ，1－λ)，EF＝(λ－1，－λ)，

2222→∴|PA|＝

→|EF|＝

－222λ＋1－λ2＝λ2－2λ＋1，

2222λ－12＋－λ2＝λ2－2λ＋1，

22→→∴|PA|＝|EF|，即PA＝EF. 思维升华

用向量方法解决平面几何问题可分三步：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

→→

(1)平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于(

) A.|a|2|b|2－a·b2

B.|a|2|b|2＋a·b2

1C.|a|2|b|2－a·b2

21D.|a|2|b|2＋a·b2

2→→→→ABAC→ABAC1→→＋(2)在△ABC中，已知向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC为

→→→→2|AB||AC||AB||AC|(

) A．等边三角形

B．直角三角形

D．三边均不相等的三角形

C．等腰非等边三角形

答案

(1)C

(2)A a·b解析

(1)∵cos∠BOA＝，

|a||b|a·b2则sin∠BOA＝

1－22，

|a||b|1a·b2∴S△OAB＝|a||b| 1－22

2|a||b|

＝1|a|2|b|2－a·b2. 2→→ABAC→→→＋(2)因为非零向量AB与AC满足·BC＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以→→|AB||AC|AB＝AC. →→ABAC1π又cos∠BAC＝·＝，所以∠BAC＝. 3→→2|AB||AC|所以△ABC为等边三角形．

题型二

平面向量在三角函数中的应用

例2

已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量．

(1)求A的大小；

(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．

思维启迪

向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．

解

(1)∵p∥q，

∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0，

33∴sin2A＝，sin A＝，

42∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°. C－3B(2)y＝2sin2B＋cos2

180°－B－A－3B＝2sin2B＋cos2

＝2sin2B＋cos(2B－60°) ＝1－cos 2B＋cos(2B－60°) ＝1－cos 2B＋cos 2Bcos 60°＋sin 2Bsin 60°

13＝1－cos 2B＋sin 2B＝1＋sin(2B－30°)，

22当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2. 思维升华

解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．

△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(3a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．

5π答案

6abc解析

∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(3a＋c)＝0，又∵＝＝，

sin Asin Bsin C则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，

a2＋c2－b235π∴cos B＝＝－，∵0

平面向量在解析几何中的应用

例3

已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，→1→→1→且(PC＋PQ)·(PC－PQ)＝0. 22(1)求动点P的轨迹方程；

→→(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求PE·PF的最值．

思维启迪

(1)直接利用数量积的坐标运算代入；

→→(2)将PE·PF转化为关于y的函数，求函数的最值．

解

(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．

→1→→1→由(PC＋PQ)·(PC－PQ)＝0，

221→→得|PC|2－|PQ|2＝0，

41即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，

422xy化简得＋＝1. 1612x2y2所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1. 1612→→→→→→(2)∵PE＝PN＋NE，PF＝PN＋NF，

→→又NE＋NF＝0. →→→2→2∴PE·PF＝PN－NE

＝x2＋(y－1)2－1 y2＝16(1－)＋(y－1)2－1 121＝－y2－2y＋16 31＝－(y＋3)2＋19. 3∵－23≤y≤23. →→∴当y＝－3时，PE·PF的最大值为19，

→→当y＝23时，PE·PF的最小值为12－43. →→综上：PE·PF的最大值为19；

→→PE·PF的最小值为12－43. 思维升华

平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．

→→

已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足PA·AM＝3→→0，AM＝－MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

2

解

设M(x，y)为所求轨迹上任一点，

设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，

→则PA＝(a,3)，

→→AM＝(x－a，y)，MQ＝(－x，b－y)，

→→由PA·AM＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①

3→→由AM＝－MQ，

23得(x－a，y)＝－(－x，b－y) 233＝(x，(y－b))，

223xx－a＝x，a＝－，22∴∴

33yy＝y－b，b＝.223xxx把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，

2221整理得y＝x2(x≠0)．

4



高考中以向量为背景的创新题

α·β典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，β·βππnb满足a与b的夹角θ∈(，)，且a∘b和b∘a都在集合{|n∈Z}中，则a∘b等于(

) 422531A.

B.

C．1

D.

222n思维启迪

先根据定义表示出a∘b和b∘a，利用其属于集合{|n∈Z}，将其表示成集合中元2ππ素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(，)确定cos θ的取值范围，结合集合42中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a∘b的值．

a·b|a||b|cos θ|a|b·a|a||b|cos θ|b|解析

根据新定义，得a∘b＝＝＝cos θ，b∘a＝＝＝cos θ. 2b·b|b||b|a·a|a|2|a|nn1n2又因为a∘b和b∘a都在集合{|n∈Z}中，设a∘b＝，b∘a＝(n1，n2∈Z)，那么(a∘b)·(b∘a)222n1n2＝cos2θ＝，

4ππ又θ∈(，)，所以0

D (2)(5分)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝

1π(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满23→→足OQ＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．

→→思维启迪

根据定义先写出m⊗OP，进而求出OP，确定函数y＝f(x)的解析式．

解析

设Q(c，d)，由新的运算可得

1π→→OQ＝m⊗OP＋n＝(2x，sin x)＋(，0) 23π1＝(2x＋，sin x)，

32πc＝2x＋，3由消去x得

1d＝sin x，211πd＝sin(c－)，

22611π所以y＝f(x)＝sin(x－)，

22611－，. 易知y＝f(x)的值域是2211－，

答案

22

温馨提醒

解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在

方法与技巧

1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．

2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．

3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．

失误与防范

1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．

2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b>0不等价.

A组

专项基础训练

一、选择题

→→→1．已知P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在(

) A．△ABC的内部

B．AC边所在直线上

D．BC边所在直线上

C．AB边所在直线上

答案

B →→→解析

由题意知：CB－PB＝λPA，

→→→→→→→即CB＋BP＝λPA，∴CP＝λPA，即CP与PA共线，

∴点P在AC边所在直线上．

→→→→22．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是

A．等边三角形

C．直角三角形

答案

C →→→→2解析

由(BC＋BA)·AC＝|AC|，

→→→→得AC·(BC＋BA－AC)＝0，

→→→→→→即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0，

→→∴AC⊥BA，∴A＝90°. →→又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，

故△ABC一定是直角三角形．

3．已知|a|＝2|b|，|b|≠0且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是

πA．－

6答案

D 解析

由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，

即4|b|2＋4·2|b|·|b|cos θ＝0，

12π∴cos θ＝－，又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 23→→4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

(

)

(

) πB．－

3πC.

32πD.

3

B．等腰三角形

D．等腰直角三角形

(

) 答案

D →→解析

PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，

→→∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6. π5.

若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，

2→→M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，

则A等于

(

)

πA.

6答案

B

B.7π

12

C.7π

6

D.7π

3π7解析

由题意知M(，A)，N(π，－A)，

1212→→π7又OM·ON＝×π－A2＝0，

12127∴A＝π.

12二、填空题

→→6．(2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．

1答案

2→→解析

在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，

→→→1→→→→∴BE＝FD＝AD－AB，又AC＝AD＋AB，

2→→→→→1→∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB) 2→1→→→→1→2＝AD2－AD·AB＋AD·AB－AB

221→→1→→＝|AD|2＋|AD||AB|cos 60°－|AB|2

2211→1→＝1＋×|AB|－|AB|2＝1. 2221→→→→1－|AB||AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝. ∴22→→→→7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB·AC＝BA·BC＝1，那么c＝________. 答案

2 →→→→解析

由题意知AB·AC＋BA·BC＝2，

→→→→→→→即AB·AC－AB·BC＝AB·(AC＋CB) →→＝AB2＝2⇒c＝|AB|＝2. →→8．已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤OP·OM→→→→≤1,0≤OP·ON≤1，则z＝OQ·OP的最大值为________．

答案

3 →→→解析

OP＝(x，y)，OM＝(1,1)，ON＝(0,1)，

→→→→∴OP·OM＝x＋y，OP·ON＝y，

0≤x＋y≤1，即在条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划知识，当x＝0，y＝10≤y≤1

时，zmax＝3. 三、解答题

9．已知△ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，

求证：AD⊥CE. 证明

建立如图所示的直角坐标系，

设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)．

a∵D是BC的中点，∴D(0，)．

2→→又∵AE＝2EB，即(x－a，y)＝2(－x，a－y)，

x－a＝－2x，a2∴解得x＝，y＝a. 33y＝2a－2y，

aa→∵AD＝(0，)－(a,0)＝(－a，)，

22→→a2OE＝CE＝(，a)，

33a2a→→∴AD·CE＝－a×＋a×

33211＝－a2＋a2＝0. 33→→∴AD⊥CE，即AD⊥CE. π3π10．已知A，B，C三点的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，其α∈(，)．

22→→(1)若|AC|＝|BC|，求角α的值．

π→→(2)若AC·BC＝－1，求tan(α＋)的值．

4→解

(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，

→BC＝(cos α，sin α－3)，

→∴|AC|＝cos α－32＋sin2α

＝10－6cos α，

→|BC|＝10－6sin α. →→由|AC|＝|BC|得sin α＝cos α，

π3π5又α∈(，)，∴α＝π.

224→→(2)由AC·BC＝－1，

得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，

2π2∴sin α＋cos α＝，∴sin(α＋)＝>0. 343π3π由于<α<，

223πππ7∴<α＋<π，∴cos(α＋)＝－. 4443π14故tan(α＋)＝－. 47B组

专项能力提升

11．(2013·浙江)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，4→→→→恒有PB·PC≥P0B·P0C，则

(

)

A．∠ABC＝90°

C．AB＝AC

答案

D

B．∠BAC＝90°

D．AC＝BC

解析

设BC中点为M，

→→→→→→PB则PB·PC＝＋PC2－PB－PC2

221→→＝PM2－CB2，

41→→→→同理P0B·P0C＝P0M2－CB2，

4→→→→∵PB·PC≥P0B·P0C恒成立，

→→∴|PM|≥|P0M|恒成立．

即P0M⊥AB，

1取AB的中点N，又P0B＝AB，

4则CN⊥AB，∴AC＝BC.故选D. 15→→2．已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________. 4答案

150°

→→解析

∵AB·AC<0，∴∠BAC为钝角，

115又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝. 241∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°. 23．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，→→则|PA＋3PB|的最小值为________．

答案

5 解析

方法一

以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x. ∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，

→→PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)，

→→∴PA＋3PB＝(5,3a－4x)，

→→|PA＋3PB|2＝25＋(3a－4x)2≥25，

→→∴|PA＋3PB|的最小值为5. →→方法二

设DP＝xDC(0

→→∴PC＝(1－x)DC，

→→→→→PA＝DA－DP＝DA－xDC，

→→→→1→PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋DA. 2→→5→→∴PA＋3PB＝DA＋(3－4x)DC，

2

25→5→→→→→|PA＋3PB|2＝DA2＋2××(3－4x)DA·DC＋(3－4x)2·DC2

42→＝25＋(3－4x)2DC2≥25，

→→∴|PA＋3PB|的最小值为5. 4．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cos α，sin α)，且0<α<π.

→→→→(1)若|OA＋OC|＝7，求OB与OC的夹角；

→→(2)若AC⊥BC，求tan α的值．

→→解

(1)因为|OA＋OC|＝7，

1所以(2＋cos α)2＋sin2α＝7，所以cos α＝. 2π又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝. 3ππ→→又因为∠AOB＝，所以OB与OC的夹角为. 26→→(2)AC＝(cos α－2，sin α)，BC＝(cos α，sin α－2)．

→→→→因为AC⊥BC，所以AC·BC＝0，

1所以cos α＋sin α＝，①

213所以(cos α＋sin α)2＝，所以2sin αcos α＝－. 44π又因为α∈(0，π)，所以α∈(，π)．

27因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，cos α－sin α<0，

47所以cos α－sin α＝－.②

21－71＋7由①②得cos α＝，sin α＝，

444＋7所以tan α＝－. 35.

如图所示，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，→→→→过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP·QF＝FP·FQ. (1)求动点P的轨迹C的方程；

→(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.已知MA＝→→→λ1AF，MB＝λ2BF，求λ1＋λ2的值．

解

(1)设点P(x，y)，则Q(－1，y)，

→→→→由QP·QF＝FP·FQ，得

(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得P的轨迹C的方程为y2＝4x. (2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)．

2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(－1，－)，

m2y＝4x，联立方程消去x，得

x＝my＋1，

y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2＋16>0，

y1＋y2＝4m，故

y1y2＝－4.→→→→由MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，得

22y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，整理，得

mm22λ1＝－1－，λ2＝－1－，

my1my22112y1＋y2所以λ1＋λ2＝－2－(＋)＝－2－·

my1y2my1y224m＝－2－·＝0. m－4