2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课堂实录及点评

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

石家庄市鹿泉区第二中学

高宏霞

一、教学目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解。

(2)能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用 基底来表达。 2、过程与方法

（1）通过复***面向基本定理引出平面向量的正交分解，让学

生体验数学定理的产生、形成过程。

（2）培养学生观察、发现问题的能力，加强思维能力的训练，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一。

3、情感、态度与价值观

（1）实例激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识。

（2）经历平面向量坐标产生过程，在探索活动中形成锲而不舍的钻研精神。

二、重点难点

重点：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示。

难点：平面向量的坐标表示应用。

三、教材与学情分析

1、教材分析：平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量

都可表示为两个不共线向量的线性组合，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会给问题的研究带来方便。联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量，最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj。

2、学情分析：学生在物中已学过力的分解，所以容易接受向量分解这一知识，但对平面向量基本定理的理解和熟悉应用是学生学习的一个难点。向量的正交分解及坐标表示是平面向量基本定理的一个应用，学生较易学习和掌握。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学

五、教学过程

（一）导入新课

思路1、在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和。将这种力的分解拓展到向量中，会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2。我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v，可分解为沿水平方向的

速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα。从这两个实例可以看出，把一个向量分解到两个不同的方向，特别是作正交分解，即在两个互相垂直的方向上进行分解，是解决问题的一种十分重要的手段。如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，是否会给我们带来更方便的研究呢？

思路2、前面我们学***面向量的基本定理，让学生画一画，算一算，分别用给定的一组基底表示同一向量。

思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量进行分解比较简单？

正交分解定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。

【问题】在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对表示？又如何表示呢？

(二)、理解概念，加深认识

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得[1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○向量的坐标表示。

结合定义，指导学生求出向量i、j、0的坐标。

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。

设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。

在坐标系中观察，向量i,j及OA的坐标与其终点坐标有何关系？这几个向量在坐标系中的位置有什么共同点？什么样的向量其坐标就是终点坐标？通过这样的问题引导让学生得到结论

起点在原点的向量其坐标就是其终点的坐标。

类比点的坐标，提出向量平移后具体位置发生了改变，其坐标是否会发生变化？通过动画演示，指出平移前后的向量是相等向量，通过平移，可以使它们的起点平移到坐标原点处，则其终点必然重合，此时，它们的坐标都对应着这个终点的坐标，由此 学 ]

得到相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。

例1、如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．

图6 本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合。一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小。把向量a用i、j表示，进而得到向量a的坐标。另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标。同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标。另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系

a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等。由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标。

→＋AA→＝xi＋yj，∴a＝(2,3)。

解

：由图可知，a＝AA12同理，b＝－2i＋3j＝(－2,3)；c＝－2i－3j＝(－2，－3)；d＝2i－3j＝(2，－3)。

点评

：本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标。

六、课堂检测

如图，用基底

i、j

分别表示向量a、b、c、d

，并求出它们的坐标。

a

2i3ja

(2,3)七、课堂小结

b2i2jb(2,2)c3i2jc(3,2)d4i2jd(4,2)

1、先由学生回顾上节学习的数学知识平面向量的基本定理，引出平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示。

2、教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如归纳与类比、

数形结合。

八、课后作业

习题2.3

A 组2、3、4

B组1 九、教学反思

1、本节课内容是复***面向量基本定理。教书首先通过

“思考”

让学生思考对于平面内给定的任意向量都可以用形如

λ1e1＋λ2e2的向量表示。

2、教师多提出问题，多让学生自己动手作图发现规律，通过解题总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想解决这部分的题。

3、借助多媒体进行教学会有意想不到的效果。整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示。充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体。学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷。