复习参考题板书设计及意图

平面向量章末复习

例题分析

一

平面向量的线性运算

向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律．利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

一

数形结合思想在向量中的运用

→→例1

如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A →的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求OP.

→→→→2→→2→→12【解析】

OM＝OA＋AM＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝a＋b，

33332t→→→→t因为OP与OM共线，故可设OP＝tOM＝a＋b. 33→→→→又NP与NB共线，可设NP＝sNB，

3→→→3→→→OP＝ON＋sNB＝OA＋s(OB－ON)＝(1－s)a＋sb，

44

1

所以2s＝3t，3t1－s＝，43

解得3s＝5.t＝9，10

3→3所以OP＝a＋b. 105反思与感悟

数形结合是求解数学问题最常用的方法之一，其大致有以下两条途径：

(1)以数解形，通过对数量关系的讨论，去研究图形的几何性质．

(2)以形助数，一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在不少章节都有广泛的应用．

→→→→→→跟踪训练1

.如图，在平行四边形中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是

．

答案

22 →→→→→→→1→→3→解析

AP·BP＝(AD＋DP)·(BC＋CP)＝(AD＋AB)·(AD－AB) 443→13→→31→→→＝AD2－AB2＋(－)AB·AD＝25－×64－AB·AD

16441621→→＝13－AB·AD＝2，

2→→故AB·AD＝22. 二

基底思想在解题中的应用

向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则，若已知三点坐标，利用向量证明三点共线时，只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理．

例2

(1)设P(3，－6)，Q(－5,2)，R的纵坐标为－9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为________．

→→【解】

设R(x，－9)，则PQ＝(－8,8)，PR＝(x－3，－3)．由P、Q、R三点共线得－8×(－3)－8(x－3)＝0，解得x＝6. →→→→→(2)已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)、D(－2,3)，以AB、AC为一组基底来表示AD＋BD＋CD. →→→→→→→→【解】

∵AB＝(1,3)，AC＝(2,4)，AD＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，CD＝(－5,1)，∴AD＋BD＋CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．

→→→→→根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得AD＋BD＋CD＝mAB＋nAC，

∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，

即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)．

m＋2n＝－12，m＝32，可得解得

3m＋4n＝8.n＝－22.

→→→→→∴AD＋BD＋CD＝32AB－22AC. 反思与感悟

适当选择基底，使其它向量都能够用基底表示，从而将几何问题转化为代数运算．

跟踪训练2

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.

2

→→证明

设AB＝b，AC＝c，

→11→2→则AM＝b＋c，AN＝AC，

223→→→2BN＝BA＋AN＝c－b. 3→→→→→→→→∵AP∥AM，BP∥BN，∴存在λ，μ∈R，使得AP＝λAM，BP＝μBN，

→→→→→→又∵AP＋PB＝AB，∴λAM－μBN＝AB，

112112b＋c－μc－b＝b得λ＋μb＋λ－μc＝b. ∴由λ2232232λ＋μ＝1，又∵b与c不共线．∴122λ－3μ＝0.→4→故AP＝AM，即AP∶PM＝4∶1. 5三

平面向量的数量积

1

λ＝5，解得3μ＝5.4

求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义，另一个是根据坐标．定义法是a·b＝|a||b|cos θ，其中θ为向量a，b的夹角；坐标法是a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决．

例3

1

已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，

(1)c∥d；

(2)c⊥d. 1解

由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3. 2(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．

9∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝. 5(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. 29∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－. 14→→

2

(1)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求AB·BC；

→→(2)已知向量AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，a∈R.若△ABC为直角三角形，求a的值．

解

(1)在△ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，

3故BC＝3，且cos∠ABC＝，

5→→AB与BC的夹角θ＝π－∠ABC，

3→→→→∴AB·BC＝－|AB||BC|cos∠ABC＝－5×3×＝－9. 5

3

(2)∵△ABC是直角三角形，∴A＝90°或B＝90°或C＝90°. →→当A＝90°时，由AB⊥AC，得3×(－1)＋1·a＝0，∴a＝3；

→→→当B＝90°时，BC＝AC－AB＝(－4，a－1)，

→→由AB⊥BC，得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，∴a＝13；

→→当C＝90°时，由BC⊥AC，得

－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，

∵a∈R，∴方程a2－a＋4＝0无解．

综上所述，a＝3或13.

反思与感悟

把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这种解题方法具有普遍性．

→1→2→→→跟踪训练3

若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝

. 63答案

－2 解析

建立如图所示的直角坐标系，知

A(0,3)，B(－3，0)，C(3，0)，

→1→2→→设M(x，y)，由CM＝CB＋CA，得M(0,2)，∴MA＝(0,1)，

63→→→MB＝(－3，－2)．∴MA·MB＝－2.

1．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．

2．向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．

4