小结教学实录与评析

本章小结

一、本章的知识结构

向量及其基本概念



实际背景向量线性运算基本定理坐标表示向量的应用



向量的数量积

向量的数量积与距离、夹角等紧密相联，可以解决相关的几何问题，它在本章中占有很重要的位置，因此，在这里我对向量的数量积做一个详细的总结。

二、教材内容的分析

1.

教材的地位和作用

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念。它是在物理中“功”的概念的基础上抽象出平面向量的数量积的概念，在此基础上

探究数量积的性质和运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的推理论证的能力。

2.

学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化。另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

三、教学目标

（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算；

（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

四、教学重、难点

重点：平面向量数量积的性质和运算律

难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

三、教学过程

活动一：创设问题情景，激发学习兴趣

问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

（1）力F所做的功W= 。

（2）请同学们分析这个公式的特点：

W（功）是 量，

F（力）是 量

，S（位移）是 量，α是 。

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。

问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，它有其客观背景和现实意义的，为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二：探究数量积的概念

1、概念的形成

在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。

2、概念的明晰

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量

︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=

︱︱·︱︱cos

在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5

问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：

角

·

的符号

的范围

0°≤<90°

=90°

0°<≤180°

通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。

活动三：再探定义

问题6：数量积的几何意义是什么？

让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性。

活动四：运算性质

问题7：数量积的运算性质有哪些？并比较它与实数运算性质有哪些异同？

学生由实数的乘法运算性质猜想向量乘法，再引导学生自主探索研究其运算律，每一条运算律由学生逐一证明，然后教师加以强调，并给出练习加以辨别区分。比如：

（1）

a

a+b

M

N

c

O

再比如：

用此图来证明向量运算律的分配律

这是实数乘法与向量运算的区别。

活动五：小结提升

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

布置作业：

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

教学反思：从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，。通过安排学生讨论影响数量积结果的因素和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,同时对整个章节的知识理解和运算有一个整体的提高和升华。