3.1.1 两角差的余弦公式含PPT的教学设计及点评

3．1.1

两角差的余弦公式

[学习目标]

1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．

知识点一

两角差余弦公式的探究

思考1

如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明．

答案

不正确．

πππ2例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，

2442ππ2而cos α－cos β＝cos －cos ＝－，

242故cos(α－β)≠cos α－cos β；

πππ3再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos ＝，

3662ππ1－3而cos α－cos β＝cos －cos ＝，

362故cos(α－β)≠cos α－cos β. 思考2

计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．

①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1；

②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝3；

2③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0；

1④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝. 2猜想：

cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；

即：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 知识点二

两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

思考

如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，完成下列问题：

→→(1)P点坐标是(cos α，sin α)，向量OP＝(cos α，sin α)，|OP|＝1. →Q点坐标是(cos β，sin β)，向量OQ＝(cos β，sin β)，

→|OQ|＝1. →→→→(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量OP与OQ的夹角〈OP，OQ〉之间的关系是：α－β→→＝〈OP，OQ〉；

→→→→当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量OP与OQ的夹角〈OP，OQ〉之间的关系是：α－β＝→→－〈OP，OQ〉；

→→→→当α，β均为任意角时，α－β和〈OP，OQ〉的关系是：α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉，k∈Z. →→→→→→→→→→(3)向量OP与OQ的数量积OP·OQ＝|OP||OQ|·cos〈OP，OQ〉＝cos(α－β)；另一方面，OP与OQ→→的数量积用点坐标形式表示：OP·OQ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.

题型一

运用公式求值

例1

求下列三角函数式的值．

(1)sin π；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；

12(3)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)．

ππ解

(1)原式＝cos2－12

＝cos ππππ5＋＝cos－－6

π＝cos461246－2ππππ＝cos cos －sin sin ＝. 46464(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0. (3)原式＝cos[(α－45°)－(15°＋α)] 1＝cos(－60°)＝. 2反思与感悟

在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化

成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．

跟踪训练1

求下列各式的值．

(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)；

cos 7°－sin 15°sin 8°(2). cos 8°1解

(1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝. 2cos15°－8°－sin 15°sin 8°(2)原式＝

cos 8°cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°＝

cos 8°cos 15°cos 8°＝＝cos 15°＝cos(45°－30°) cos 8°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°

＝6＋22321×＋×＝. 22224题型二

给值求值

821例2

已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．

1729π81π0，，sin α＝<，所以0<α<，

解

因为α∈21726ππ213－，，cos(α－β)＝<，

又因为α－β∈26292ππ所以－<α－β<－，

26所以cos α＝1－sin2α＝

82151－17＝17，

212201－＝－，

2929sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－

所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 2015515218－＝. ＝×＋×17291729493反思与感悟

三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：

α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，

11α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．

22βαππα＋β12α－＝－，sin－β＝，其中α∈，π，β∈0，，求cos 跟踪训练2

设cos. 2232292

ππ，π，β∈0，，

解

∵α∈22ππβπα，π，－β∈－，，

∴α－∈42242βα－＝

∴sin2αcos2－β＝

∴cos βα－＝

1－cos22α1－sin22－β＝

1451－＝，

819451－＝. 93α＋βα－β－α－β

＝cos222βαβαα－cos－β＋sinα－sin－β

＝cos22221545275＝－×＋×＝. 939327题型三

给值求角

π1110，，求β的值．

例3

已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈2714π1110，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，

解

∵α、β∈271443∴sin α＝1－cos2α＝，

753sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝. 14又∵β＝(α＋β)－α，

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

11153431－×＋＝14714×7＝2. ππ0，，∴β＝. 又∵β∈23反思与感悟

(1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．

(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．

π3π1212，π，α＋β∈，2π，跟踪训练3

已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈221313求β的值．

π12，π，且cos(α－β)＝－，

解

由α－β∈213

5得sin(α－β)＝，

133π12，2π，且cos(α＋β)＝，

由α＋β∈2135得sin(α＋β)＝－. 13cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) 125125－＋－×＝－1. ＝×131313133πππ3π，2π，α－β∈，π，∴2β∈，. 又∵α＋β∈2222π∴2β＝π，则β＝. 2

忽视角的范围致误

42例4

已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，求cos A. 53错解一

∵cos A＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B，

25又∵在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，

3343由sin(A＋B)＝可得cos(A＋B)＝，

55324545－6∴cos A＝×(－)＋×＝. 535315错解二

∵cos A＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B，

25在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，

3343由sin(A＋B)＝可得cos(A＋B)＝±，

55324545±6∴cos A＝(±)×(－)＋×＝. 5353152错因分析

此类问题应首先确定角的范围，再求值．本题由cos B＝－<0知B为钝角，所33以A＋B为钝角．所以cos(A＋B)＝－. 52正解

∵在△ABC中，由cos B＝－<0，

3

∴B为钝角，且sin B＝5. 3∵B为钝角，∴A＋B为钝角．

43∵sin(A＋B)＝可得cos(A＋B)＝－. 55∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos B＋

324545＋6sin(A＋B)sin B＝－×(－)＋×＝. 535315点评

前面两种错误解法忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致求值错误．在解题中应π挖掘出“

ππ30，，若sin α＝，则2cosα－等于(

) 1．设α∈2457171A.

B.

C．－

D．－

5555答案

A 解析

πππα－＝2cos αcos ＋sin αsin 

2cos444437＝cos α＋sin α＝＋＝. 555132．计算：sin 60°＋cos 60°＝

. 22答案

3

2解析

原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°

＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝3. 23．求cos 105°＋sin 195°的值．

解

cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°) ＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2－2－62321×＋×＝2. 2222344．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．

55

32242解

∵(sin α＋sin β)2＝，(cos α＋cos β)＝5，

5以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，

1∴cos(α－β)＝－. 2415．已知锐角α、β满足cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β. 5343解

∵α为锐角，且cos α＝，∴sin α＝. 55ππππ又∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<. 222213又∵tan(α－β)＝－<0，∴cos(α－β)＝. 310从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 1910433＝×＋×－＝. 55010105

给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

1. 10

一、选择题

1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为(

) A．－C.3

2B.3

22

22

2D．－答案

B 解析

cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝2．化简sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(

) A．sin 2x

C．－cos 2x

答案

C B．cos 2x

D．－sin 2x

3. 2

解析

原式＝－cos[(x＋y)＋(x－y)]＝－cos 2x，故选C. 3．若cos(α－β)＝πA.

63πC.

4答案

C 25π310解析

∵sin(α－β)＝－(－<α－β<0)，sin 2α＝，

5210∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]

＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝105310252×＋×－＝－，

10510253π. 4510，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(

) 510πB.

45πD.

6∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π44．若α∈(0，π)，且cos(α＋)＝，则cos α等于(

) 354－33A.

104＋33C.

10答案

C π4解析

∵α∈(0，π)且cos(α＋)＝，

35π3∴sin(α＋)＝. 35ππ41334＋33cos α＝cos[(α＋)－]＝×＋×＝. 335252105．cos 165°等于(

) 1A.

2C．－6＋2

4B.3

26－2

4－4－33B.

10－4＋33D.

10D．－答案

C 解析

cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°

＝－cos(45°－30°)＝－(cos 45°cos 30°＋sin45°sin 30°) ＝－6＋2. 4

6．若sin α＋sin β＝1－31，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为(

) 22133A.

B．－

C.

D．1 224答案

B sin α＋sin β＝1－23，

①解析

由题意知1cos α＋cos β＝，

②2①2＋②2⇒cos(α－β)＝－二、填空题

3. 2

17．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝

. 38答案

3解析

原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) 8＝2＋2cos(α－β)＝. 38．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是

．

1答案

－

2sin α＋sin β＝－sin γ

①解析

由

cos α＋cos β＝－cos γ

②

①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1 1⇒cos(α－β)＝－. 2779．若sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝－，则cos(α－β)＝

. 55答案

24

25510，cos β＝，则α－β的值为

．

51010．已知α、β均为锐角，且sin α＝π答案

－

4π0，，

解析

∵α、β∈225310∴cos α＝，sin β＝，

510π－，0. ∵sin α

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

251053102＝×＋×＝，

5105102π∴α－β＝－. 4三、解答题

1111．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos(α－β)．

231解

由cos α－cos β＝两边平方得

21(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①

41由sin α－sin β＝－两边平方得

31(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②

9①＋②得

132－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝. 3659∴cos αcos β＋sin αsin β＝，

7259∴cos(α－β)＝. 7212．已知：cos(2α－β)＝－22πππ，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．

22424ππππ解

因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.

4244因为cos(2α－β)＝－所以sin(2α－β)＝2π，所以<2α－β<π.

222. 2πππππ因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<. 42442因为sin(α－2β)＝所以cos(α－2β)＝2π，所以0<α－2β<，

222，

2所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]

＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－2222×＋×＝0. 2222

π0，，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．

13．已知α、β、γ∈2解

由已知，得

sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β. 平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. 1∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，

2πππ0，，∴β－α∈－，，

∵α、β、γ∈222π∴β－α＝±. 3∵sin γ＝sin β－sin α>0，

π∴β>α，∴β－α＝. 3