2.1.3 相等向量与共线向量教学内容分析

2.1.2相等向量与共线向量

向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的，如物理学中的位移、力、速度等概念，其几何背景是有向线段，虽然是抽象的形式符号，教学时依然可以用位移、力等物理量为背景，理解上并不困难.因此本课从“猫能否追到老鼠”和美伊战争导弹成否击中目标引出物理学中的矢量.

通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.教学时要注意把握概念的物理意义，理解有关概念的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性.而相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素（大小、方向）的认识中结合具体案例主动构建，让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问，引导学生的思考置疑.

掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？

联系：向量与数量都是有大小的量；

区别：向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小. 向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？ 向量的模：表示向量的有向线段的长度.. 零向量：模为0的向量. 单位向量：模为1个单位长度的向量. 3.引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系.

一.相等向量与相反向量 思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向相同；

模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；

模不相等，方向不相同；

思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 向量a与b相等记作a=b. ABCD思考3：用有向线段表示非零向量

和

，如果

AB



CD，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？

ABCDABCD思考4：对于非零向量

和

，如果

，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

思考5：非零向量 与 称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？

ABBA

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

思考6：如果非零向量 与 是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？

二.平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

方向相同或相反

ABCD思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？

思考3：零向量0与向量a平行吗？

规定：零向量与任一向量平行. 思考4将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作

=a，

=b，

=c，那么点A、B、C的位置关系如何？

uuurOAuuurOBuuurOC

思考5上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量 与 是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

ABCD

思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量

a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？

思考7：对于向量a、b、c，

若a // b， b // c，那么a // c吗？

思考8：对于向量a、b、c，

若a =b， b =c，那么a = c吗？ 小结：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：

(1) 向量a与b相等，记作a＝b；

(2) 零向量与零向量相等；

(3) 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. a

b

c

共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同

一直线上(与有向线段的起点无关). 说明：

(1) 平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

(2) 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

B

A

F

E

C

D

O

例1.

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量

相等的向量

.OA、OB、OCBC

AO

FE

D

变式一：与向量

长度相等的向量有多少个？

OA变式二：是否存在与

向量长度相等、方向相反的向量？

OA变式三：与向量

共线的向量有哪些？OA

例2. 判断：

(1) 不相等的向量是否一定不平行？

(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？

(3) 两个非零向量相等的条件是什么？

(4) 共线向量一定在同一直线上吗？

例2. 判断：

(1) 不相等的向量是否一定不平行？

不一定

(2) 与零向量相等的向量必定是什么向量？

零向量

(3) 两个非零向量相等的条件是什么？ 长度相等且方向相同

(4) 共线向量一定在同一直线上吗？ 不一定

例3. 下列命题正确的是 ( ) A. a与b共线，b与c共线，则a与c

B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点

C. 向量a与b不共线，则a与b

D. 有相同起点的两个非零向量不平行

C

练习

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量

AB

与

CD

是共线向量，则A、B、

C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 2．教材P.77练习第4题. 3. 判断下列命题是否正确：

（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等； （2）不相等的两个向量一定不共线； （3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形； （4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线.

描述向量的两个指标：模和方向.

2.平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3. 共线向量与平行向量的关系、相等向量.



阅读教材P.74-P.76.

ABDC. ）

）

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（（（（