探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学目标设计

教学设计·2019届杨娜

普通高中课程标准实验教科书·数学4（人教A版）必修

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

班级 姓名 . 【一、课前回顾：(2min)】

1.

正弦、余弦定义：在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r（r（1）比值22xy，那么

x2y20）yy叫做的

正弦

，记作sin，即sin；

rrP(x,y)rxx（2）比值叫做的

余弦

，记作cos，即cos；

rr2. 三角函数线（正弦线）的定义：设任意角的终边与单位圆相交于点Px,y，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

正弦、余弦是以

角

为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

sinyxMP（角α的正弦线），cosOM（角α的余弦线）

rr3.三角函数的诱导公式：

sin+2k

sin

，cos+2k

cos

，kZ，sin+ cos . 2【二、揭示目标：（1min）】

1.

知道正弦函数、余弦函数，会用单位圆中的三角函数线作出ysinx,xR的图象；会利用诱导公式，通过平移作出ycosx,xR的图象，熟悉正弦、余弦函数的图象；

2.会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图以及与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数的简图. 【三、自学指导：（10min）】

任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx（或cosx）与之对应，由这个对应法则所确定的函数ysinx（或ycosx）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R.

演示观察：“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”该曲线是何曲线？你有办法画出该曲线的图象吗？

阅读课本P30-33，先独立完成下列问题与例题，再以小组讨论的形式解决问题和例题。

问题1：如何利用正弦线作出正弦函数ysinx,x0,2的图象；怎样得到ysinx,xR的图象？

作图过程：

（1）在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份；

（2）再把x轴上从0到2这一段（

≈6.28）分成12等份；

（3）过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0,，，,…，2的正弦632线（等价于“列表”

）；

（4）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”

）.；

（5）连线.再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数ysinx,x0,2的图象。

将它向左、右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数ysinx,(xR)的图象，即正弦曲线

设计意图：根据之前学习的正弦线的内容，引导学生用正弦线作出正弦函数ysinx,(x0,2)的图象，再因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律。所以函数ysinx在x[0,2)的图象与函数ysinx，x[2k,2(k1)),(kZ,k0)的图象的形状完全一样，只是位置不同。

问题2：如何根据诱导公式cosxsin(x形变换得到余弦函数的图象？

设计意图：通过诱导公式cosxsin(x2)，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图2),让学生发现正弦函数图象与余弦函数图象之间的联系。从而得到做余弦函数图象的一种方法--正弦函数y=sinx的图象向左平移单2位即得余弦函数y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

y1-6-5-4-3-2-o-1y1-6-5-4-3-2--1y=sinx23456xy=cosx23456x

问题3：在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？余弦函数呢？

在精确度要求不高时，先作出函数y＝sinx的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。步骤：

(1)列表：

x sin x cos x 0

0

1

π

21

0

π

0

－1

3π

2－1

0

2π

0 1 (2)描点：

画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象的五个关键点

（3,1),(π,0),(,-1),(2π,0)；

22画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的五个关键点

(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1)

22(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．

设计意图：让学生观察正弦函数图象的特征，找准几个关键的点，从而总结出要直接做出正弦函数图象时，画哪几个特殊点，类比得到做余弦函数图象时应该抓住的关键点。五点的横坐标分别由0，3，π，，2π来确定．五点作图法的五点之所以说是关键点，是由22于他们是正弦函数、余弦函数的两端点、最高点、最低点及中间点．掌握这个特点，这种方法不仅适用于作y=sinx，y=cosx的图象，即使函数稍有变形，只要坚持作出两端点、最高点、最低点及中间点，仍然可以采用．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以。

例

画出下列函数的简图：

（1）y1sinx,x0,2

；（2）ycosx,x0,2

解：（1）

按五个关键点列表：

描点、连线，画出简图:

-2x sin x 0

0 π

2１

2 0 1 π

3π

2－1 0 2π

0 1 1+sin x

1 2fx = 1+sinxgx = sinxO2π325π2π

(2)按五个关键点列表：

cos x

描点、连线，画出简图:

2x 0

1 -1 0 0 π

2-1 1 π

0 0 3π

22π

1 -1 -cos x fx = -cosxgx = cosxO-22π325π2π10思考题：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数ysinx,x0,2的图象来得到y1sinx,x0,2的图象？同样的，能否从函ycosx,x0,2图象得到函数ycosx,x0,2的图象？

设计意图：加强五点法作图能力，加深学生对正弦、余弦函数图象关键点的记忆，同时加上一个思考题，让学生又从图像变换（平移或翻转）的角度来理解图象的相互联系。

【四、小组互助（5min）】

学生自学完成后，小组进行交流讨论，梳理学习过程，兵教兵完成相应问题和练习，做好展示准备。

【五、小组汇报（10min）】

请1-2个组到前台进行小组成果展示，将学习历程和讨论结果和大家分享，其他组做好补充、提问、质疑准备。

【六、教师点拨（5min）】

对小组汇报中存在的问题进行纠正，遗漏的问题进行补充，不能解决的进行释疑。老师要尤其注意学生在讲解的过程中是否有方法总结，思路是否清晰。

这节课是利用正弦线画出函数y=sinx, x∈[0,2π]的图像，并且会利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。在这里，几何描点法中，单位圆中的三角函数线是一些有向线段，它们可以用来表示单位圆中的三角函数值，这种思路是学生不容易想到的，需要适当引导。画正余弦函数图像的五点法中的五点选取可以是不一样的，根据各自的取值区间，只要都是一个周期内的图像均可。在观察正弦函数图像向左或

者向右平移时，学生不容易想到相关的诱导公式，这就要求老师的点拨，也要求充分复习正弦线、函数图像的变换等知识，体现了知识间的联系。在作图时，采用类比，突出两种曲线的相同与不同之处，教师点拨时注意总结：

1. 通过正弦线画出正弦函数在[0,2]上的图象；

2.

终边相同的角三角函数值相等，

利用诱导公式（一），只要将函数ysinx,x0,2的图像左、右平移（每次2个单位长度）就可以得到函数ysinx,xR的图像；

3. 利用诱导公式sin(x2)cosx，由正弦曲线平移得到余弦曲线,从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图像的方法，让学生感受有了一个函数图像为基础时，可以通过图像变换得到另一函数的图像，降低作图的难度。

4.观察正弦函数图象的特征，找准几个关键的点，总结“五点法作图”的简要步骤。

“五点”即ysinx或ycosx的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．还需点拨如何通过图像变换（平移、翻转等）正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图

【七、当堂检测（5min）】

画出下列函数的简图：

（1）ysinx1,x0,2； （2）y12cosx,x0,2. 解：（1）列表

x sinx y=sinx－1

（2）列表

cosx y=1－2cosx

0 1 －1 0 0 －1 21 0



0 －1 3

2－1 －2 2

0 －1 20 1



－1 3 3

20 1 2

1 －1

【八、课后小结（1min）】

1、正弦曲线如何得到？

2、余弦曲线如何得到？

3、五点法作图的作图步骤是什么？

设计意图：让学生自由发言对本节内容进行归纳，老师把学生归纳的方法小结写在黑板上，培养学生归纳总结能力，最后对学生归纳还没到位的内容进行补充。

配餐作业

A组题：

1、画出下列函数的图象：

（1）y1sinx,x0,2；

（2）y3cosx1,x0,2

2、以下对正弦函数ysinx的图象描述不正确的是（ C ）

A.在x2k,2k2(kZ)上的图象形状相同，只是位置不同

B.介于直线y1与直线y1之间

C.关于x轴对称

D.与y轴仅有一个交点

B组题：

的图象与函数y1、函数ysinx,x0,2A.1 B.2 C.3 D.4 2、ycosx(xR)的图象向左平移的解析式为（ A ）

1的图象的交点个数是（ B

）

22个单位后，得到函数yg(x)的图象，则g(x)A. g(x)sinx(xR) B. g(x)sinx(xR) C. g(x)cosx(xR) D. g(x)cosx(xR)

C组题：

1、函数ysinx(xR)图象的一条对称轴是（ D ）

A. x轴 B. y轴 C. 直线yx D. 直线x2

2、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列等式成立的x的取值集合：

（1）

cosx=0(xR) （2）sinx=3(xR)；

222k,kZ

3答：（1）x

2k,kZ；（2）x32k或x